Transversale Isotropie

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Bildhafte Erklärung der Transversalen Isotropie.
Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht.
Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.

Die transversale Isotropie ist eine spezielle Art der Richtungsabhängigkeit eines Materials. Transversal Isotrope Materialien haben die drei Eigenschaften:

  1. Es gibt eine Vorzugsrichtung, die 1-Richtung im Bild, in der sich das Material anders verhält als senkrecht dazu.
  2. Senkrecht zur Vorzugsrichtung, in 2- und 3-Richtung, sind die Materialeigenschaften unabhängig von der Richtung (isotrope Ebene) und
  3. es gibt keine Kopplung zwischen Normaldehnungen und Schubverzerrungen.

In Ebenen, die nicht senkrecht zur Vorzugsrichtung sind, sind die Eigenschaften des Materials richtungsabhängig. Die transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie und Anisotropie.

Bedeutung in der Konstruktion[Bearbeiten]

Unidirektional verstärkte Kunststoffe sind im ungeschädigten Zustand in guter Näherung transversal isotrop. Sie haben eine hohe Festigkeit in Richtung der Fasern und sind senkrecht dazu nachgiebiger. In der Konstruktion werden transversal Isotrope Werkstoffe gerne eingesetzt, denn sie gestatten die Werkstoffeigenschaften an die Belastung anzupassen. Unter anderem die geringe Dichte bei hoher Festigkeit in Belastungsrichtung haben zu einer starken Zunahme der Nutzung der faserverstärkten Kunststoffe geführt. Durch Schädigung verlieren diese Werkstoffe im Allgemeinen ihre transversale Isotropie.

Symmetriegruppe[Bearbeiten]

Die Richtungsabhängigkeit von Materialien wird mit ihrer Symmetriegruppe beschrieben. Anschaulich beinhaltet diese Gruppe alle Drehungen oder auch Drehspiegelungen von Einspannbedingungen (Dehnungen), die man auf eine (infinitesimal kleine, kugelförmige) Probe anwenden kann, ohne dass sich die Auflagerkräfte (Spannungen) ändern. Bei der transversalen Isotropie beinhaltet die Symmetriegruppe beliebige Drehungen um die Vorzugsrichtung und eine Spiegelung an der isotropen Ebene[1].

Transversal isotrope Elastizität[Bearbeiten]

Ein transversal isotroper linear elastischer Werkstoff zeichnet sich dadurch aus, dass in seiner Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix die Koppelterme nicht besetzt sind. Schubspannungen in Ebenen parallel oder senkrecht zur Vorzugsrichtung führen nicht zu Normaldehnungen.

Materialparameter[Bearbeiten]

Ein transversal isotroper, linear elastischer Werkstoff besitzt fünf Materialkennwerte, die in Versuchen an makroskopischen Proben ermittelt werden können:

Formelzeichen Bedeutung
 E_{\|} Elastizitätsmodul in Vorzugsrichtung
 E_\bot Elastizitätsmodul senkrecht zur Vorzugsrichtung
 \nu Querkontraktionszahl bei Zug in Vorzugsrichtung
 G_{\|} Schubmodul parallel zur Vorzugsrichtung
 G_\bot  Schubmodul in der isotropen Ebene

Die Dimensionen der Module sind Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahlen dimensionslos sind. Aufgrund der transversalen Isotropie sind die folgenden Ausdrücke im 1-2-3-System identisch:[2]

\begin{array}{lcl}
E_1&=&E_\|
\\
E_2=E_3&=&E_\bot
\\
G_{12}=G_{13}&=&G_\|
\\
G_{23}&=&G_\bot
\\
\nu_{12}=\nu_{13}&=&\nu
\\
\nu_{21}=\nu_{31} &&
\\
\nu_{23}=\nu_{32} &&
\end{array}

Die Indizes der Querkontraktionszahlen  \nu_{ij} sind sorgfältig definiert durch das negative Verhältnis der Normaldehnung  \varepsilon_{{jj}} in j-Richtung zu derjenigen  \varepsilon_{{ii}} in i-Richtung bei Zug in i-Richtung:

 \nu_{ij}
=\frac{-\varepsilon_{{jj}}}{\varepsilon_{{ii}}}

Die Querkontraktionszahl in der Ebene senkrecht zur Vorzugsrichtung ist durch die Isotropieannahme gebunden:


G_\bot 
=\frac{E_\bot }{2 (1+\nu_{23})}
\quad\rightarrow\quad
\nu_{23}
=\nu_{32}
=\frac{E_\bot }{2G_\bot }-1\,.

Zwar dürfen, wie auch bei orthotropen Werkstoffen, die Indizes der Querkontraktionszahlen nicht ausgetauscht werden, allerdings gilt die Maxwell-Betti-Beziehung

\frac{\nu}{E_\|}=\frac{\nu_{12}}{E_1}=\frac{\nu_{21}}{E_2}.

Isotropie stellt sich mit

\begin{array}{lcl}
E_\| &=& E_\bot = E
\\
G_\| &=& G_\bot = G = \dfrac{E}{2(1+\nu)}
\end{array}

als Spezialfall ein.

Spannungs-Dehnungs-Beziehung[Bearbeiten]

Mit diesen Parametern lautet bei hinreichend kleinen Deformationen das lineare Elastizitätsgesetz

 \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33}
\\ 2 \varepsilon_{23}\\ 2 \varepsilon_{31} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} 
=
\underbrace{\begin{bmatrix}
\frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{12}}{E_1} & -\frac{\nu_{12}}{E_1}
& 0&0 &0
\\
& \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & 0&0 &0
\\
&  & \frac{1}{E_2} & 0& 0&0
\\
& & & \frac{1}{G_{23}} & 0&0
\\
& \mathrm{sym}& & & \frac{1}{G_{12}} &0
\\
& & & & & \frac{1}{G_{12}}
\end{bmatrix}}_{=:S}
\begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33}
\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}

zwischen den Spannungen  \sigma_{ij} und den Dehnungen  \varepsilon_{ij} . Die Nachgiebigkeitsmatrix S ist symmetrisch.

Durch Inversion der Nachgiebigkeitsmatrix erhält man die Steifigkeitsmatrix:

 \left[\begin{array}{c}
\sigma_{11}\\
\sigma_{22}\\
\sigma_{33}\\
\sigma_{23}\\
\sigma_{13}\\
\sigma_{12}
\end{array}\right]
=
\left[
\begin{array}{cccccc}
C_{11}
& 2 \nu_{12} (\lambda+G_{23})
& 2 \nu_{12} (\lambda+G_{23})
& 0& 0& 0
\\
& \lambda + 2 G_{23}
& \lambda
& 0& 0& 0
\\
& & \lambda + 2 G_{23}
& 0& 0& 0
\\
& & & G_{23}& 0& 0
\\
& \mathrm{sym}& & & G_{12}& 0
\\
& & & & & G_{12}
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{22}\\
\varepsilon_{33}\\
2\varepsilon_{23}\\
2\varepsilon_{13}\\
2\varepsilon_{12}
\end{array}\right]

mit

\begin{array}{lcl}
\lambda&=&\dfrac{\nu_{12} \nu_{21} + \nu_{23}}
{( 1-\nu_{23} - 2 \nu_{12}\nu_{21} ) (1+\nu_{23})} E_2
\\
C_{11} &=& \dfrac{( 1 - \nu_{23} ) E_1}{1 - \nu_{23} - 2 \nu_{12} \nu_{21}}
\end{array}
.

Diese für kleine Dehnungen in voigtscher Notation geschriebene lineare Matrizengleichung zwischen Spannungen und Dehnungen läßt sich mit Hyperelastizität auf nichtlinear elastisches transversal isotropes Verhalten verallgemeinern.

Stabilitätskriterien[Bearbeiten]

Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten. Die Stabilitätskriterien lauten:

\begin{array}{l}
E_1, E_2, G_{12}, G_{23} > 0
\\
| \nu_{23} | < 1
\\
| \nu_{12} | < \sqrt{\dfrac{E_1}{E_2}}
\\
| \nu_{21} | < \sqrt{\dfrac{E_2}{E_1}}
\\
1 - \nu_{12} \nu_{21} > 0
\\
1 - \nu_{23}^2 > 0
\\
( 1-\nu_{23} - 2 \nu_{12}\nu_{21} ) (1+\nu_{23}) > 0
\end{array}

Wenn die linke Seite der letzten Ungleichung gegen null geht, verhält sich das Material zunehmend inkompressibel.

Beispiel[Bearbeiten]

Zug einer transversal isotropen Materialprobe mit einer Kraft \mathrm{F} in einem Winkel \alpha zur Vorzugsrichtung
Beispiel für die Richtungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls und der Querdehnzahlen bei transversaler Isotropie

Ein transversal isotroper linear elastischer Werkstoff habe die Kennwerte

 \begin{array}{lcl}
E_{1}&=&2000\mathrm{MPa}\\
E_{2}&=&1000\mathrm{MPa}\\
G_{12}&=&700\mathrm{MPa}\\
G_{23}&=&350\mathrm{MPa}\\
\nu_{12}&=& 0,25\end{array}

Die Stabilitätskriterien werden erfüllt:

 \begin{array}{l}
E_{1},E_{2},G_{12},G_{23}> 0\\
|\nu_{23}|=\nu_{23}=\frac{E_{2}}{2G_{23}}-1= 0,4285...< 1
\\
|\nu_{12}|=0,25 < \sqrt{\frac{E_{1}}{E_{2}}}=1,4142...
\\
|\nu_{21}|=\nu_{12}\frac{E_{2}}{E_{1}}
=0,125< \sqrt{\frac{E_{2}}{E_{1}}} = 0,7071...
\\
1 - \nu_{12} \nu_{21} = 0,96875 > 0
\\
1 - \nu_{23}^2 = 0,8163... > 0
\\
(1-\nu_{23}-2\nu_{12}\nu_{21})(1+\nu_{23})=0,7270... > 0
\end{array} .

Wird eine Probe dieses Materials wie im oberen Bild in einem Winkel  \alpha zur Vorzugsrichtung einaxial belastet, würde man den Elastizitätsmodul und die Querdehnzahlen, wie im unteren Bild gezeigt, messen. Bei Isotropie wären die Kurven konzentrische Kreise.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Haupt 2000, S. 366
  2. Helmut Schürmann: Konstruieren mit Faser-Kunststoff-Verbunden, 2. Ausgabe. Springer 2008 Seite 182 f.

Literatur[Bearbeiten]

  • H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Stuttgart: Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-342-00681-1
  • P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66114-X.