Transversalitätssatz

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Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Satz[Bearbeiten]

Sei f:M\rightarrow N eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und U eine Untermannigfaltigkeit von N. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion \delta: M\rightarrow\mathbb R (und jeder Metrik auf N) eine \delta-Approximation von f, die transversal zu U ist.[1]

Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung g:M\rightarrow N ist transversal zur Untermannigfaltigkeit U, wenn

T_{g(x)}N = T_{g(x)}U + d_{x}g(T_{x}M) \quad \forall \, x \in g^{-1}(U)

gilt. (Insbesondere auch wenn g^{-1}(U)=\emptyset.) Eine Abbildung g:M\rightarrow N ist eine δ-Approximation von f:M\rightarrow N falls

d(f(x),g(x))<\delta(x) \quad \forall \, x \in M,

gilt. Für hinreichend kleine \delta>0 ist jede δ-Approximation homotop zu f. Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu f homotopen Abbildung, die transversal zu U ist. Zu jedem \epsilon:M\rightarrow\mathbb R gibt es ein \delta:M\rightarrow\mathbb R, so dass es zu jeder δ-Approximation g von f eine Homotopie H:M\times\left[0,1\right] \rightarrow N zwischen f und g gibt, bei der für jedes t\in\left[0,1\right] die Abbildung H(.,t) eine ε-Approximation von f ist.[2]

Beispiele[Bearbeiten]

  • f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \; t \mapsto (t, t^2) ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes \epsilon >0 die Abbildung g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \; t \mapsto (t, t^2+\epsilon) transversal zur x-Achse.
  • Falls \dim(M)+\dim(U)<\dim(N), dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung f:M\rightarrow N eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu U ist.

Relative Version und Homotopietransversalitätssatz[Bearbeiten]

Sei f:M\rightarrow N eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und U eine Untermannigfaltigkeit von N. Sei A eine Untermannigfaltigkeit von M und die Einschränkung f\mid_A sei transversal zu U. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion \delta: M\rightarrow\mathbb R (und jeder Metrik auf N) eine \delta-Approximation von f, die transversal zu U ist und auf A mit f übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien M,N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und U eine Untermannigfaltigkeit von N. Sei F:M\times\left[0,1\right]\rightarrow N eine differenzierbare Abbildung, für die f_0:=F(.,0):M\rightarrow N und f_1:=F(.,1):M\rightarrow N transversal zu U sind. Dann gibt es eine Abbildung G:M\times\left[0,1\right]\rightarrow N, die transversal zu U ist und auf M\times\left\{0\right\} bzw. M\times\left\{1\right\} mit f_0 bzw. f_1 übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. René Thom: Un lemme sur les applications différentiables. In: Boletin de la Sociedad Matemática Mexicana/2. Serie, Bd. 1 (1956), pp. 59–71, ISSN 0037-8615.
  2. Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (Lecture Notes in Mathematics; Bd. 178). Springer Verlag, Berlin 1970, ISBN 3-540-05341-7.