Trigamma-Funktion

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Die Trigammafunktion \psi_1(z) in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion[1]; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion \psi. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit \psi_1 bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion \ln(\Gamma(x)) definiert, wobei \Gamma die Gammafunktion bezeichnet.

Definition und weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Die Definition lautet:

\psi_1(z)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2} \ln\Gamma(z).

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion \psi(z), dass

\psi_1(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \psi(z)

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

\psi_1(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(z + n)^2} = \zeta(2,z)

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen \zeta-Funktion[2] ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

\psi_1(z)=\int\limits_0^1 \frac{\mathrm dy}{y} \int\limits_0^y \frac{x^{z-1}\,\mathrm dx}{1 - x}.

Außerdem gilt

\psi_1(z)= -\int\limits_0^1 \frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,\mathrm dx.

Berechnung und Eigenschaften[Bearbeiten]

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen B_{2k} ein:

\psi_1(z) \sim \frac1z + \frac1{2z^2} + \sum_{k=1}^N \frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}.

Zwar ist die Reihe für kein  z mit  N \to \infty konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte  N eine sehr gute Näherung dar. Je größer  |z| ist, desto größer kann  N gewählt werden.

Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:

 \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}

Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:

 \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,

Hier ist  \csc der Kosekans.

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei G die Catalansche Konstante, \zeta(x) die Riemannsche Zetafunktion und \rm{Cl}_2 die Clausen-Funktion[3] bezeichnet.

\begin{align}
&\psi_1\left(\tfrac14\right) &={}& \pi^2+8G \\
&\psi_1\left(\tfrac13\right) &={}& \tfrac23\pi^2+3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\
&\psi_1\left(\tfrac12\right) &={}& \tfrac12\pi^2\\
&\psi_1\left(\tfrac23\right) &={}& \tfrac23\pi^2-3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\
&\psi_1\left(\tfrac34\right) &={}& \pi^2-8G \\
&\psi_1\,(1) &={}& \zeta(2) = \tfrac16\pi^2\\
&\psi_1\left(\tfrac54\right) &={}& \pi^2+8G-16 \\
&\psi_1\left(\tfrac32\right) &={}& \tfrac12\pi^2-4\\
&\psi_1\,(2) &={}& \tfrac16\pi^2-1
\end{align}

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Clausen Function. In: MathWorld (englisch).