Trigonometrischer Pythagoras

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Geometrische Veranschaulichung des „trigonometrischen Pythagoras“

Als „trigonometrischer Pythagoras“ wird die Identität

\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha = 1

bezeichnet.[1][2] Hierbei steht \sin^2 \alpha für (\sin \alpha)^2 und \cos^2 \alpha für (\cos \alpha)^2. Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

Herleitung[Bearbeiten]

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b

a^2 + b^2 = c^2

gilt. Wird der Winkel \alpha im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass a seine Gegenkathete und b seine Ankathete ist, so gilt allgemein

a=\sin \alpha \cdot c,
b=\cos \alpha \cdot c.

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz von Pythagoras ergibt dann

(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) \cdot c^2 = c^2,
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

Geometrische Veranschaulichung[Bearbeiten]

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Anwenden des Satzes von Pythagoras zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Lothar Papula: Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer, , ISBN 978-3-8348-1749-5 (Zugriff am 14. Dezember 2011)., S. 251
  2. Mathematik leicht gemacht. Harri Deutsch Verlag, August 2009, ISBN 978-3-8171-1836-6 (Zugriff am 14. Dezember 2011)., S. 94