Trivialer Knoten

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Triviale Knoten
Blue Unknot.png
Bowen-knot-in-rope.png

Der triviale Knoten (auch: Unknoten) ist der einfachste mathematische Knoten, nämlich eine einfache geschlossene Schlaufe, die nicht verknotet ist (also ohne Schnitte zu einem glatten Ring auseinandergezogen werden kann). Er spielt in der Knotentheorie eine Rolle.

Viele in der Praxis vorkommende Knoten, zum Beispiel der Trompetenknoten und der Würgeknoten, sind triviale Knoten.[1]

Knotentheoretische Eigenschaften[Bearbeiten]

Komplizierteres Diagramm eines trivialen Knotens

Eine den trivialen Knoten repräsentierende Kurve ist zum Beispiel

\left\{(x,y,0):x^2+y^2=1\right\}\subset \mathbb R^3.

Ein Knoten ist ein trivialer Knoten, wenn er durch eine stetige Verformung (ohne dass dabei „die Schnur zerschnitten wird“) in die obige Kurve überführt werden kann. Es gibt durchaus kompliziert aussehende Knoten, die in Wirklichkeit trivial sind, ein Beispiel zeigt das Bild unten rechts.

Das Jones-Polynom des trivialen Knotens ist:

\quad V(t) = 1.[2]

Sein Alexander-Polynom ist ebenfalls gleich 1.

Ein Knoten K in der 3-Sphäre ist genau dann trivial, wenn das Komplement S^3\setminus K homöomorph zum Volltorus ist.

1961 entwickelte der Mathematiker Wolfgang Haken einen Algorithmus, mit dem man bestimmen kann, ob ein Knotendiagramm einen trivialen Knoten zeigt oder nicht. Dazu verwendete er Seifert-Flächen.[3][4] Mit Hakens Algorithmus kann man allgemein entscheiden, ob zwei Haken-Mannigfaltigkeiten homöomorph sind. (Haken-Mannigfaltigkeiten sind irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten, die eine inkompressible Fläche enthalten – im Falle eines Knotenkomplements ist die Seifert-Fläche diese inkompressible Fläche.)

Hass/Lagarian/Pippenger bewiesen 1999, dass Unverknotetsein in der Komplexitätsklasse NP ist, d.h. ein „Zertifikat“ dafür, dass ein Knoten trivial ist, lässt sich in polynomieller Zeit verifizieren.[5]

Unter der Annahme, dass die verallgemeinerte riemannsche Vermutung richtig ist, bewies Greg Kuperberg 2011, dass auch Verknotetsein in NP ist.[6]

Es ist nicht bekannt, ob man mit dem Jones-Polynom den trivialen Knoten entdecken kann, d.h. ob \quad V(t) = 1 nur für den trivialen Knoten gilt. Dies leistet aber die Heegaard-Floer-Homologie oder auch die Khovanov-Homologie.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Unknots – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Knotty Topics
  2. Unknot (en) auf MathWorld Aufgerufen am 25. September 2012
  3. Reich der Unknoten Der Tagesspiegel über die Knotentheorie. Aufgerufen am 25. September 2012.
  4. Theorem of the Day: Haken's Unknot Theorem (PDF; 255 kB)
  5. Hass, Joel; Lagarias, Jeffrey C.; Pippenger, Nicholas: The computational complexity of knot and link problems, Journal of the ACM 46(2), 185–211 (1999).
  6. Knoten und Komplexitätstheorie