Tschebyschow-Funktion

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Die Tschebyschow-Funktion, etwa im Englischen auch Chebyshev-Funktion oder ähnlich bezeichnet, ist eine von zwei zahlentheoretischen Funktionen, die nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind. Sie erhalten durch ihren Zusammenhang mit der Primzahlzählfunktion und dem Primzahlsatz und damit der Riemannschen Zeta-Funktion an Bedeutung.

Die erste Tschebyschow-Funktion, üblicherweise mit \theta\, oder \vartheta bezeichnet, ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis x:

\vartheta(x)=\sum_{p\le x\atop p\text{ prim}}\operatorname{log}(p)

Die zweite Tschebyschow-Funktion \psi(x) ist die summierte Funktion der Mangoldt-Funktion:

\psi(x)=\sum_{n=1}^x\Lambda(n)=\sum_{p^k\le x}\operatorname{log}(p)

wobei die Mangoldt-Funktion \Lambda definiert ist als

\Lambda(n)=\begin{cases}\log(p)&\text{falls }n\text{ sich als }n=p^k\text{ darstellen }\mathrm{l\ddot asst,}\text{ wobei }p\text{ prim, }k\in\N^+\\0&\text{sonst}\end{cases}

Grundlegende Eigenschaften[Bearbeiten]

Erstere Tschebyschow-Funktion lässt sich auch darstellen als

\vartheta(x)=\operatorname{log}(x_\#),

wobei x_\# die Primfakultät bezeichnet.

Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis n:

\psi(x)=\operatorname{log}(\operatorname{kgV}(1,2,3,\ldots,\lfloor x\rfloor))

Nach Erhard Schmidt gibt es für jedes positive reelle k Werte für x, sodass

\psi(x)-x<-k\sqrt{x}

und

\psi(x)-x>k\sqrt{x}

unendlich oft.

Asymptotik[Bearbeiten]

Es gilt

\lim_{x\to\infty}\frac x{\vartheta(x)}=1,

d.h.

\vartheta(n)\sim n.

Ebenso gilt

\psi(n)\sim n.\,

Pierre Dusart fand eine Reihe von Schranken für die beiden Funktionen:[1]

\vartheta(p_k)\ge k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2{,}0553}{\ln k}\right),\qquad k\ge\exp(22)
\vartheta(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right), \qquad k\ge 198
\psi(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right) + 1{,}43\sqrt x,\qquad k\ge 198
|\vartheta(x)-x|\le0{,}006788\frac{x}{\ln x},\qquad x\ge 10{.}544{.}111
|\psi(x)-x|\le0{,}006409\frac{x}{\ln x},\qquad x\ge \exp(22)
\psi(x)-\vartheta(x)<0{,}0000132\frac{x}{\ln x},\qquad x\ge\exp(30).

Verwandtschaft der beiden Funktionen[Bearbeiten]

Es gilt

\psi(x)=\sum_{p\le x}k\log p

wobei k ganz und dann durch p^k\le x und p^{k+1}\ge x eindeutig bestimmt ist.

Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch

\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \vartheta(x^\frac1n)=\sum_{n=1}^{\lfloor\log_2(x)\rfloor}\vartheta(x^\frac1n).

Man bemerke, dass \vartheta(x^\frac1n)=0 für n\ge\log_2(x).

Die „exakte Formel“[Bearbeiten]

1895 bewies Hans Karl Friedrich von Mangoldt folgende Formel, die im Englischen auch als "explicit formula" bezeichnet wird:[2]

\psi(x)=x-\sum_\rho \frac{x^\rho}\rho-\mathrm{ln}(2\pi)-\frac12\mathrm{ln}\left(1-x^{-2}\right)

Dabei ist x>1 und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe läuft über alle nichttrivialen Nullstellen \rho\, der Riemannschen Zeta-Funktion \zeta.

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Pierre Dusart: Sharper bounds for ψ, θ, π, pk. In: Rapport de recherche n° 1998-06, Université de Limoges. PDF
  2. Eric W. Weisstein: Explicit Formula. In: MathWorld (englisch).

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikiversity: Zahlentheorie 12 – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch