Tschebyschow-Polynom

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Tschebyschow-Polynome, benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev bezeichnet, sind in der Mathematik rekursive Polynome. Es wird zwischen Tschebyschow-Polynomen erster Art T_n(x) und Tschebyschow-Polynomen zweiter Art U_n(x) unterschieden.

Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

\left(1-x^2\right)\, y''-x \, y'+n^2 \, y = 0,

und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von

\left(1-x^2\right)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0.

Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art[Bearbeiten]

Die Funktionen

\begin{align}
y_g(x) &= 1 + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k\right)^2-n^2\right)}{(2p)!} x^{2p}
 = 1 + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k\right)^2\right)}{(2p)!} x^{2p} \\
 & = 1 - {n^2 \over 2!} \, x^2 + {n^2 \, \left(n^2-4\right) \over 4!} \, x^4 - {n^2 \, (n^2-4)\, \left(n^2-16\right) \over 6!} \, x^6 \pm \cdots
\end{align}

und

\begin{align}
y_u(x) &= x + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k+1\right)^2-n^2\right)}{(2p+1)!} x^{2p+1}
 = x + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k+1\right)^2\right)}{\left(2p+1\right)!} x^{2p+1}\\
 & = x-{n^2-1 \over 3!} \, x^3 + {\left(n^2-1\right) \, \left(n^2-9\right) \over 5!} \, x^5 \mp \cdots
\end{align}

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5.

Für ganzzahlige n bricht jeweils eine dieser Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, y_g(x) für gerade und y_u(x) für ungerade n, und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung T_n(1)=1 werden diese als Tschebyschow-Polynome T_n(x) bezeichnet. Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

\begin{align}
T_0(x)&=1 \\
T_1(x)&=x \\
T_2(x)&=2 x^2 - 1 \\
T_3(x)&=4 x^3 - 3 x\\
T_4(x)&=8 x^4 - 8 x^2 + 1\\
T_5(x)&=16 x^5 - 20 x^3 + 5 x\\
T_6(x)&=32 x^6 - 48 x^4 + 18 x^2 - 1
\end{align}

Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang

T_{n+1}(x) = 2x \, T_n(x)-T_{n-1} (x)

berechnet werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

T_n(x)=\cos\left(n \, \arccos x\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad x \in [-1,1]
T_n(x)=\cosh\left(n \, {\rm arcosh}(x) \right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad |x| > 1

oder

T_n(\cos \theta)=\,\!\cos(n \theta)

Die n Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms T_n(x) sind gegeben durch

\cos\left(\tfrac{2j+1}{2n}\,\pi\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad j = 0, \ldots, n-1

Tschebyschow-Polynome T_n(x) sind im geschlossenen Intervall [-1,1] orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)\cdot g(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx

Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.

Anwendungen[Bearbeiten]

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.

Tschebyschow-Polynome zweiter Art[Bearbeiten]

Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5.

Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art U_n(x) werden über eine rekursive Bildungsvorschrift definiert:


\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2x \\
U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)
\end{align}

Die erzeugende Funktion für U_n ist:

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}

Die ersten acht Polynome dieser Art sind:

\begin{align}
U_0(x) &= 1 \\
U_1(x) &= 2x \\
U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\
U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\
U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\
U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x  \\
U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\
U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x
\end{align}

Tschebyschow-Polynome U_n(x) sind im abgeschlossenen Intervall [-1,1] orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes

\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)\cdot g(x)\cdot{\sqrt{1-x^2}}\, dx

Historie[Bearbeiten]

Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881[1] in folgenden Aufsätzen:

  • Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions, 1859, Oeuvres Band I, Seite 273-378
  • Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable, 1881, Oeuvres Band II, Seite 335-356

Literatur[Bearbeiten]

  •  Il'ja N, Bronstein, Konstantin A, Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Unveränderter Nachdruck. Harri Deutsch, Thun u. a. 2001, ISBN 3-8171-2005-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill Book Company, 1966, Library of Congress Catalog Card Number 65-25916, ISBN 007-010757-2, Seite 225

Quellen[Bearbeiten]