Turinggrad

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In der Berechenbarkeitstheorie und der mathematischen Logik misst der Turinggrad (auch Grad der Unlösbarkeit) einer Menge natürlicher Zahlen die algorithmische Unlösbarkeit der Menge. Das Konzept des Turinggrades ist fundamental in der Berechenbarkeitstheorie, wo Mengen natürlicher Zahlen oft als Entscheidungsprobleme angesehen werden; der Turinggrad einer Menge gibt an, wie schwer das Entscheidungsproblem der Menge ist.

Zwei Mengen sind turing-äquivalent wenn sie den gleichen Grad der Unlösbarkeit haben; jeder Turinggrad ist eine Menge turing-äquivalenter Mengen, sodass zwei Mengen genau dann in unterschiedlichen Turinggraden liegen, wenn sie nicht Turing-äquivalent sind. Außerdem sind die Turinggrade im folgenden Sinne partiell geordnet. Wenn der Turinggrad einer Menge X kleiner als der Turinggrad einer Menge Y ist, dann kann jede (unberechenbare) Prozedur, die korrekt entscheidet, ob Zahlen in Y liegen, berechenbar in eine Prozedur umgewandelt werden, die korrekt entscheidet, ob Zahlen in X liegen. In diesem Sinne korrespondiert der Turinggrad einer Menge mit dem Grad der algorithmischen Unlösbarkeit.

Die Turinggrade wurden 1944 von Emil Leon Post eingeführt und viele grundlegende Resultate wurden 1954 von Stephen Cole Kleene und Post bewiesen. Die Turinggrade sind bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Viele Beweise in diesem Gebiet benutzen eine Beweistechnik, die als Prioritätsmethode bekannt ist.

Turing-Äquivalenz[Bearbeiten]

Im Folgenden bezieht sich das Wort Menge auf Mengen natürlicher Zahlen. Eine Menge X heißt Turing-reduzierbar auf eine Menge Y, wenn es eine Orakel-Turingmaschine gibt, die mit Hilfe eines Orakels für Y entscheidet, ob Zahlen in X liegen. Die Notation XT Y steht für: X ist auf Y turing-reduzierbar.

Zwei Mengen X und Y heißen turing-äquivalent, wenn sie aufeinander turing-reduzierbar sind. Die Notation XT Y steht für: X und Y sind turing-äquivalent. Die Relation ≡T ist eine Äquivalenzrelation, das heißt für alle Mengen X, Y und Z gilt:

  • XT X
  • XT Y impliziert YT X
  • Wenn XT Y und YT Z, dann XT Z.

Turinggrad[Bearbeiten]

Ein Turinggrad ist eine Äquivalenzklasse der Relation ≡T. Die Notation [X] bezeichnet die Äquivalenzklasse, die die Menge X enthält. Die Klasse aller Turinggrade wird mit \mathcal{D} bezeichnet.

Die Turinggrade haben eine partielle Ordnung ≤. Sie ist so definiert, dass [X] ≤ [Y] genau dann gilt, wenn XT Y. Es gibt einen Turinggrad, der genau die entscheidbaren Mengen enthält, und dieser Grad ist kleiner als alle anderen. Er wird mit 0 (Null) bezeichnet, da er das kleinste Element der partiell geordneten Menge \mathcal{D} ist. Turinggrade werden meist durch Fettdruck bezeichnet, um sie von Mengen zu unterscheiden. Als Variablen für Turinggrade dienen fette kleine Buchstaben a, b etc.

Für alle Mengen X und Y, ist X join Y, geschrieben X ⊕ Y, die Vereinigung der Mengen {2n : nX} und {2m+1 : m ∈ Y}. Der Turinggrad von X ⊕ Y ist das Supremum der Grade [X] und [Y]. Damit ist \mathcal{D} ein oberer Halbverband. Das Supremum der Grade a und b wird mit ab bezeichnet. Es ist bekannt, dass \mathcal{D} kein Verband ist, da es Paare von Graden ohne Infimum gibt.

Für jede Menge X bezeichnet X′ die Menge der Indizes von Orakelmaschinen, die auf ihrem eigenen Index als Eingabe halten, wenn sie X als Orakel benutzen. Die Menge X′ wird als Turing-Sprung von X bezeichnet. Der Turing-Sprung eines Grades [X] ist der Grad [X′]; dies ist wohldefiniert, da X′ ≡T Y′ aus XT Y folgt. Ein wichtiges Beispiel ist 0′, der Grad des Halteproblems.

Grundlegende Eigenschaften der Turinggrade[Bearbeiten]

  • Es gibt 2^{\aleph_0} verschiedene Turinggrade.
  • Für jeden Grad a gilt die strikte Ungleichung a < a′.
  • Für jeden Grad a ist die Menge der Grade unter a höchstens abzählbar. Die Menge der Grade über a hat Mächtigkeit 2^{\aleph_0}.

Struktur der Turinggrade[Bearbeiten]

Die Struktur der Turinggrade wurde intensiv erforscht. Die folgende Liste gibt nur wenige der vielen bekannten Ergebnisse an. Generell lässt sich aus den bekannten Ergebnissen schließen, dass die Struktur der Turinggrade sehr kompliziert ist.

Ordnungseigenschaften[Bearbeiten]

  • Es gibt minimale Grade. Ein Grad a heißt minimal, wenn a ungleich 0 ist und es keinen Grad zwischen 0 und a gibt. Damit ist die Ordnung der Grade nicht dicht.
  • Für jeden Grad a ungleich 0 gibt es einen Grad b, der mit a nicht vergleichbar ist.
  • Es gibt 2^{\aleph_0} untereinander nicht vergleichbare Turinggrade.
  • Es gibt Paare von Graden ohne Infimum. Damit ist \mathcal{D} kein Verband.
  • Jede abzählbare partielle Ordnung lässt sich in die Turinggrade einbetten.
  • Keine unendliche, strikt aufsteigende Folge von Graden hat ein Supremum.

Eigenschaften des Sprungoperators[Bearbeiten]

  • Für jeden Grad a gibt es einen Grad zwischen a und a′. Es gibt sogar eine abzählbar unendliche Folge paarweise nicht vergleichbarer Grade zwischen a und a′.
  • Ein Grad a hat die Form b′ für ein b genau dann, wenn 0′a gilt.
  • Für jeden Grad a gibt es einen Grad b, sodass a < b and b′ = a′. Solch ein Grad b heißt niedrig relativ zu a.
  • Es gibt eine unendliche Folge ai von Graden, sodass ai+1ai für alle i.

Logische Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Shore and Slaman (1999) zeigten, dass sich der Sprungoperator in der Struktur der Grade in der Logik erster Stufe mit der Sprache 〈 ≤, =〉 definieren lässt.

Struktur der rekursiv aufzählbaren Turinggrade[Bearbeiten]

Ein Grad heißt rekursiv aufzählbar, wenn er eine rekursiv aufzählbare Menge enthält. Jeder rekursiv aufzählbare Grad ist kleiner oder gleich 0′, aber nicht jeder Grad kleiner 0′ ist rekursiv aufzählbar.

  • (G. E. Sacks, 1964) Die rekursiv aufzählbaren Grade sind dicht, das heißt, zwischen zwei rekursiv aufzählbaren Graden existiert immer ein dritter rekursiv aufzählbarer Grad.
  • (A. H. Lachlan, 1966a and C. E. M. Yates, 1966) Es gibt zwei rekursiv aufzählbare Grade, die kein Infimum in den rekursiv aufzählbaren Graden haben.
  • (A. H. Lachlan, 1966a and C. E. M. Yates, 1966) Es gibt ein Paar von rekursiv aufzählbaren Graden ungleich 0, deren Infimum 0 ist.
  • (S. K. Thomason, 1971) Jeder endlicher distributiver Verband kann in die rekursiv aufzählbaren Grade eingebettet werden. Es ist sogar möglich, die abzählbare boolesche Algebra ohne Atome so einzubetten, dass Suprema und Infima erhalten bleiben.
  • (A. H. Lachlan and R. I. Soare, 1980) Nicht alle endlichen Verbände können in die rekursiv aufzählbaren Grade eingebettet werden, sodass Suprema und Infima erhalten bleiben. So kann insbesondere folgender Verband nicht eingebettet werden:
Rehasse.png
  • (A. H. Lachlan, 1966b) Es gibt kein Paar rekursiv aufzählbarer Grade, deren Infimum 0 ist und deren Supremum 0′ist,
  • (L. A. Harrington and T. A. Slaman, siehe Nies, Shore, and Slaman (1998)) Die Theorie der rekursiv aufzählbaren Grade in der Sprache 〈 0, ≤, = 〉 in Logik erster Stufe ist many-one-äquivalent zur Theorie der Arithmetik in Logik erster Stufe.

Literatur[Bearbeiten]

Einführungen[Bearbeiten]

  • S. B. Cooper: Computability Theory. Chapman & Hall/CRC, 2004, ISBN 1-58488-237-9.
  • Nigel Cutland: Computability, An introduction to recursive function theory. Cambridge University Press, 1980, ISBN 0-521-29465-7.
  • Klaus Heidler, Hans Hermes, Friedrich-K. Mahn.: Rekursive Funktionen. Mannheim - Wien - Zürich 1977.
  • Hans Hermes: Aufzählbarkeit - Entscheidbarkeit - Berechenbarkeit. Einführung in die Theorie der rekursiven Funktionen. Berlin/ Göttingen/ Heidelberg 1961. (2. Auflage. 1971, als Heidelberger Taschenbuch).
  • Stephen Kleene: Introduction to Metamathematics. North-Holland, 1952, ISBN 0-7204-2103-9.
  • Michael Sipser: Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing, 1997, ISBN 0-534-94728-X. Part Two: Computability Theory, Chapters 3–6, S. 123–222.

Spezialwerke[Bearbeiten]

  • Piergiorgio Odifreddi: Classical Recursion Theory. North-Holland 1989, ISBN 0-444-87295-7.
  • P. Odifreddi: Classical Recursion Theory, Volume II. Elsevier, 1999, ISBN 0-444-50205-X.
  •  Hartley Rogers: Theory of recursive functions and effective computability. McGraw-Hill, 1967.
  • G. Sacks: Higher Recursion Theory. Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-19305-7.
  • R. I. Soare: Recursively Enumerable Sets and Degrees. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag, 1987, ISBN 0-387-15299-7.

Forschungspapiere[Bearbeiten]