Ungleichung von Pedoe

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Die Ungleichung von Pedoe, benannt nach Daniel Pedoe, ist eine geometrische Aussage über die Seitenlängen und die Flächeninhalte zweier Dreiecke.

Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt f und A, B und C die Seitenlängen eines weiteren Dreiecks mit dem Flächeninhalt F, so gilt folgende Ungleichung:

A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff,\,

Dabei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

Man beachte, dass der Rechenausdruck auf der linken Seite nicht nur bezüglich der sechs Permutationen der Menge { (A,a), (B,b), (C,c) } von geordneten Paaren symmetrisch ist, sondern auch — vielleicht weniger offensichtlich — bezüglich der Vertauschung von A mit a, B mit b und C mit c. Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine symmetrische Funktion des gegebenen Paares von Dreiecken.

Diese Ungleichung verallgemeinert die Ungleichung von Weitzenböck und die Ungleichung von Hadwiger–Finsler.

Literatur[Bearbeiten]

  • Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality, In The American Mathematical Monthly, Vol. 70, Nr. 9, S. 1012, November 1963.
  • Daniel Pedoe: An Inequality for Two Triangles, In Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 38, Teil 4, S. 397, 1943.

Weblinks[Bearbeiten]