Unipotentes Element

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In der Algebra ist der Begriff unipotentes Element eine Verallgemeinerung der aus der linearen Algebra bekannten unipotenten Matrizen, zum Beispiel den oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonale.

Definition[Bearbeiten]

Es sei R ein Ring mit Einselement 1. Ein Element r\in R heißt unipotent, wenn r-1 nilpotent ist, das heißt wenn

(r-1)^n=0

für ein n\in \N ist.

Unipotente Matrizen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Unipotente Matrix

Für einen Ring R und m\in \N bilden die quadratischen Matrizen Mat(m,R) ebenfalls einen Ring. In diesem Matrizenring ist die Einheitsmatrix I_m das Einselement. Die unipotenten Elemente in diesem Ring heißen unipotente Matrizen. Beispielsweise sind alle oberen Dreiecksmatrizen A, die auf der Diagonale nur Einsen aufweisen, unipotent, denn sie erfüllen

(A-I_m)^m=0.

Unipotente Operatoren[Bearbeiten]

Ein auf einem Vektorraum oder Modul wirkender Operator T heißt unipotent, wenn

(T-Id)^n=0

für ein n\in \N gilt. Er heißt lokal unipotent, wenn seine Einschränkung auf jeden T-invarianten endlichdimensionalen Unterraum unipotent ist.

Jeder Automorphismus S eines endlichdimensionalen Vektorraums V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt eine eindeutige multiplikative Jordan-Chevalley-Zerlegung der Form

S = S_d \circ S_u = S_u \circ S_d,

wobei S_d ein halbeinfacher (diagonalisierbarer) und S_u ein unipotenter Automorphismus sind. Ist W ein S-stabiler Untervektorraum von V, dann ist W auch S_d- und S_u-stabil mit der Zerlegung

S|_W = S_d|_W \circ S_u|_W = S_u|_W \circ S_d|_W.

Unipotente algebraische Gruppen[Bearbeiten]

Ein Element g einer algebraischen Gruppe G heißt unipotent, wenn der durch Rechts-Multiplikation mit g auf dem Koordinatenring A\left[G\right] definierte Operator lokal unipotent ist.

Eine algebraische Gruppe G über einem Körper K heißt unipotent, wenn alle ihre Elemente g\in G unipotent sind. Insbesondere gilt dann für jede Darstellung \rho\colon G\to GL(n,R), dass \rho(g) eine unipotente Matrix ist.

Eine algebraische Gruppe ist genau dann unipotent, wenn sie zu einer abgeschlossenen Untergruppe einer Gruppe oberer Dreiecksmatrizen mit Einsen auf den Diagonalen isomorph ist.

Unipotente algebraische Gruppen G werden durch folgende Eigenschaft charakterisiert: für jede lineare Wirkung von G auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V gibt es einen Vektor v\in V\setminus\left\{0\right\} mit

gv=v\ \forall g\in G.

Literatur[Bearbeiten]

  • Armand Borel: Linear algebraic groups. Springer, 1991.
  • Jean-Pierre Serre: Groupes algébrique et corps des classes. Hermann, 1959.
  • James E. Humphreys: Linear algebraic groups. Springer, 1981.
  • Tatsuji Kambayashi, Masayoshi Miyanishi, Mitsuhiro Takeuchi: Unipotent algebraic groups. Springer, 1974.
  •  Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, ISBN 978-3-940-34405-2.
  • Robert Steinberg: Conjugacy classes in algebraic groups. Lecture Notes in Mathematics, 366, Springer, 1974.

Weblinks[Bearbeiten]