Universelle einhüllende Algebra

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Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lieklammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Definition[Bearbeiten]

Es sei \mathfrak g eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra \mathrm U(\mathfrak g) von \mathfrak g besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus \mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g) (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist A eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen \mathfrak g\to A in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen \mathrm U(\mathfrak g)\to A. Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus \mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g) vermittelt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist X_1,\ldots,X_n eine Basis von \mathfrak g und i\colon\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g) die kanonische Abbildung, so bilden die Monome
i(X_{i_1})i(X_{i_2})\cdots i(X_{i_k}) mit i_1\leq i_2\leq\ldots\leq i_k
eine Basis von \mathrm U(\mathfrak g).
  • Insbesondere ist i injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
  • Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Konstruktion[Bearbeiten]

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra \mathrm T\mathfrak g nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

X\otimes Y-Y\otimes X-[X,Y]

für X,Y\in\mathfrak g erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, \mathrm U(\mathfrak g) trägt also keine induzierte Graduierung.

Beispiele[Bearbeiten]