Untergruppe

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In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe (U, \circ) einer Gruppe (G, \circ) eine Teilmenge U von G, die bezüglich der Verknüpfung \circ selbst wieder eine Gruppe ist. Es gibt die Kurzschreibweise U\leq G, zu lesen als „U ist Untergruppe von G“. Die Gruppe (G, \circ) heißt Obergruppe der Untergruppe (U, \circ), in Zeichen G \geq U.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten]

Eine nichtleere Teilmenge U von G bildet genau dann eine Untergruppe (U, \circ) von (G, \circ), wenn zu zwei beliebigen Elementen in U auch deren Verknüpfung in U ist, und zu jedem Element in U auch dessen Inverses in U ist:

  • a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U
  • a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U

Ein weiteres äquivalentes Kriterium: Die nichtleere Teilmenge U von G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn:

  • a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U

Je nach Art der Verknüpfung ist es einfacher, das erste oder das zweite Kriterium zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft zu verwenden.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die ganzen Zahlen \mathbb{Z} sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen \mathbb{Q}.
  • Die Menge der Permutationen \{\mbox{id}, (3\ 2\ 1), (3\ 1\ 2)\} ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_3.
  • (\{e\}, \circ), also eine Gruppe mit einer beliebigen Verknüpfung und der Menge, die nur aus dem jeweiligen neutralen Element besteht, ist Untergruppe jeder anderen Gruppe, die diese Verknüpfung teilt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Von einer Gruppe G sind stets G selbst sowie die einelementige Gruppe \{e\} Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von G genannt. Im Fall G=\{e\} sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen G\neq\{e\} haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.

Das neutrale Element einer Gruppe ist das neutrale Element jeder Untergruppe und somit ist es insbesondere in jeder Untergruppe enthalten.

Eine von G verschiedene Untergruppe U wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise U<G.

Der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen einer Gruppe G ist eine Untergruppe von G.

Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Mit ihnen können Faktorgruppen gebildet werden.

Die Untergruppenrelation ist transitiv. Das heißt, wenn A Untergruppe einer Gruppe B ist, die ihrerseits Untergruppe von C ist, dann ist A auch Untergruppe von C. Kurz gilt also

A\leq B, B\leq C\Rightarrow A\leq C

Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe U einer endlichen Gruppe G die Ordnung der Gruppe G teilt. Ist beispielsweise |G| eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe U nur 1 oder |G| betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von G.

Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten Ordnung erhält man zum Beispiel mit den Sylow-Sätzen.

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe G bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen \{e\} und G entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes.

Erzeugte Untergruppen[Bearbeiten]

Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge E \subseteq G einer Gruppe (G,\circ) eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von G, die E enthält. Diese Untergruppe wird mit \langle E \rangle bezeichnet und die von E erzeugte Untergruppe  \langle E \rangle von G genannt. Abstrakt definiert man also

\langle E \rangle := \bigcap_{E\subseteq U\leq G} U

Man kann zeigen, dass die Elemente von  \langle E \rangle genau die Elemente von G sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen a_i \in E\cup E^{-1} erhält. Hierbei bezeichnet E^{-1} die Menge der Inversen der Elemente von E. Es gilt also:

 \langle E \rangle = \{ a_1 \circ a_2 \circ ... \circ a_n | a_1,\dotsc,a_n \in E\cup E^{-1}, n \in \N \}

Gilt für eine Untergruppe U, dass U=\langle E \rangle, so heißt E ein Erzeugendensystem von U. Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.

Eine Untergruppe U, welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe bezeichnet. Besitzt U ein Erzeugendensystem aus einem Element g, so heißt U zyklisch und man schreibt  U= \langle g \rangle :=\langle \{ g \} \rangle . Will man \langle g \rangle explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:

 \langle g \rangle := \{ g^z | z \in \Z \},

Die Gruppenordnung  | \langle g \rangle | heißt die Ordnung des erzeugenden Elements g.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]