Untergruppe

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In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe (U, \circ) einer Gruppe (G, \circ) eine nichtleere Teilmenge U von G, die bezüglich der Verknüpfung \circ selbst wieder eine Gruppe ist (d. h. alle Eigenschaften hat, die eine Gruppe definieren). Es gibt die Kurzschreibweise UG, zu lesen als „U ist Untergruppe von G“. Die Eigenschaft „Assoziativität“ überträgt sich auf jede Teilmenge von G, aber nicht unbedingt die Eigenschaften „Abgeschlossenheit“, „Existenz des neutralen Elements“ und „Existenz des inversen Elements“, d. h. nicht jede nichtleere Teilmenge V von G bildet eine Untergruppe (V, \circ). Die Gruppe (G, \circ) heißt Obergruppe der Gruppe (U, \circ), in Zeichen GU.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten]

Eine nichtleere Teilmenge U von G bildet eine Untergruppe (U, \circ) von (G, \circ) genau dann, wenn zu zwei beliebigen Elementen in U auch deren Verknüpfung in U ist, und zu jedem Element in U auch dessen Inverses in U ist:

  • a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U
  • a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U

Ein weiteres äquivalentes Kriterium: Die nichtleere Teilmenge U von G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn:

  • a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U

Aus beiden Kriterien folgt auch, dass das neutrale Element e von G in U enthalten sein muss.

Je nach Art der Verknüpfung ist es einfacher, das erste oder das zweite Kriterium zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft zu verwenden.

Erzeugung einer Untergruppe[Bearbeiten]

Eine Teilmenge E \subseteq G einer Gruppe (G,\circ) erzeugt eine Untergruppe  \langle E \rangle von G.  \langle E \rangle ist also die kleinste Untergruppe von (G,\circ), die alle Elemente aus E enthält. Man kann zeigen, dass  \langle E \rangle aus dem neutralen Element e von  G und allen Verknüpfungen von endlich vielen a_i \in G , die selbst oder deren Inverse in E sind, besteht:

 \langle E \rangle = \{e\} \cup \{ a_1 \circ a_2 \circ ... \circ a_n | n \in \N^* \wedge \forall \; 1 \leq i \leq n : (a_i \in E \vee a_i^{-1} \in E ) \}

Wenn E nur ein Element g enthält, schreibt man die erzeugte Untergruppe oft als  \langle g \rangle statt  \langle \{ g \} \rangle , und sie ist zyklisch. Sie enthält genau die ganzzahligen Potenzen von g:

 \langle g \rangle := \{ g^z | z \in \Z \},

wobei

  • g^0 \; := \; e
  • g^{z+1} \; := \; g^z \circ g
  • g^{z-1} \; := \; g^z \circ g^{-1}

Die Gruppenordnung  | \langle g \rangle | der Untergruppe ist gleich der Ordnung des erzeugenden Elements g.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die ganzen Zahlen \mathbb{Z} sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen \mathbb{Q}.
  • Die Menge der Permutationen \{\mbox{id}, (3\ 2\ 1), (3\ 1\ 2)\} ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_3.
  • (\{e\}, \circ), also eine Gruppe mit einer beliebigen Verknüpfung und der Menge, die nur aus dem jeweiligen neutralen Element besteht, ist Untergruppe jeder anderen Gruppe, die diese Verknüpfung teilt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Von einer Gruppe G sind stets G selbst sowie die einelementige Gruppe \{e\} Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von G genannt. Im Fall G=\{e\} sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen G\neq\{e\} haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.

Eine von G verschiedene Untergruppe U wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise U<G.

Der Durchschnitt von beliebigen Untergruppen einer Gruppe G ist eine Untergruppe von G. So kann man die von E\subseteq G erzeugte Untergruppe \langle E \rangle auch defininieren durch

\langle E \rangle := \bigcap_{E\subseteq H\leq G}H

Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Mit ihnen können Faktorgruppen gebildet werden.

Die Untergruppenrelation ist transitiv. Das heißt, wenn A Untergruppe einer Gruppe B ist, die ihrerseits Untergruppe von C ist, dann ist A auch Untergruppe von C. Kurz gilt also

A\leq B, B\leq C\Rightarrow A\leq C

Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe U einer endlichen Gruppe G die Ordnung der Gruppe G teilt. Ist beispielsweise |G| eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe U nur 1 oder |G| betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von G.

Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten Ordnung erhält man zum Beispiel mit den Sylow-Sätzen.

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe G bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen \{e\} und G entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]