Unzerlegbarkeit

Ein $R$-Modul $M \ne 0$ über einem Ring $R$ heißt unzerlegbar, wenn sich $M$ nicht als direkte Summe zweier von Null verschiedener $R$-Moduln $M_1$ und $M_2$ schreiben lässt. Diese Definition überträgt sich sinngemäß auf beliebige abelsche Kategorien.

Unter bestimmten Voraussetzungen kann man zeigen, dass jeder Modul eine direkte Summe von unzerlegbaren Moduln ist (siehe: Satz von Krull-Remak-Schmidt). Jedoch gibt es auch Ringe und Moduln, für die das nicht der Fall ist.

Beispiele

• Ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ ist genau dann unzerlegbar, wenn er eindimensional ist.
• Jeder einfache $R$-Modul ist unzerlegbar, aber nicht umgekehrt. Kategorien, in denen alle unzerlegbaren Objekte einfach sind, heißen halbeinfach.
• Ein Modul endlicher Länge ist genau dann unzerlegbar, wenn sein Endomorphismenring lokal ist.