Satz von Varignon
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Der Satz von Varignon (auch Satz vom Mittenviereck) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).
Formulierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Rectangle-varignon.svg/260px-Rectangle-varignon.svg.png)
Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.
Beweis
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Voraussetzung
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Behauptung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.
Gang des Beweises
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
- Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD ∥ HE.
- Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.
Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.
Folgerungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Umfang des Varignon-Parallelogramms
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck.
Fläche des Varignon-Parallelogramms
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
- H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
- Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
- Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Eric W. Weisstein: Varignon’s Theorem. In: MathWorld (englisch).
- Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (englisch)
- Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet
- Varignon parallelogram auf cut-the-knot-org