Vektorbündel

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Die obere Grafik zeigt den Kreis mit einigen seiner Tangentialräume. Die zweite Grafik fasst die Tangentialräume zum Tangentialbündel, einem besonderen Vektorbündel zusammen.

Vektorbündel (oder manchmal ausführlicher Vektorraumbündel) sind Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte eines topologischen Raumes parametrisiert sind. Der Begriff der Basis eines Vektorraums kann auf diese speziellen Faserbündel verallgemeinert werden und heißt Rahmen.

Anschaulich besteht ein Vektorbündel aus je einem Vektorraum für jeden Punkt des Basisraumes. Da Vektorräume gleicher Dimension jedoch stets isomorph sind, liegt die wesentliche Information in den Beziehungen zwischen diesen Vektorräumen. Das bekannteste Beispiel für ein Vektorbündel ist das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Tangentialräumen, also den Vektorräumen zu den einzelnen Punkten, äußert sich beispielsweise in der Frage, ob ein Vektorfeld differenzierbar ist.

Die Frage, wie Vektorbündel auf einem Raum aussehen können, hängt eng mit globalen topologischen Eigenschaften des Raumes zusammen. Nicht-isomorphe Vektorbündel können oft durch ihre charakteristischen Klassen unterschieden werden.

Definitionen[Bearbeiten]

Vektorbündel[Bearbeiten]

Illustration des Vektorbündels (E,B,\pi). Hier ist der Totalraum E=\R^2 und der Basisraum B=\R. Die Abbildung \pi \colon E \to B projiziert jede Gerade E_x auf den Punkt x. Der Raum E_x=\{p \in E|\pi(p)=x\} wird Faser über x genannt. Außerdem ist der Totalraum E die Vereinigung aller Fasern.[1]

Sei \mathbb{K}^n ein reeller beziehungsweise komplexer n-dimensionaler Vektorraum. Ein reelles beziehungsweise komplexes Vektorbündel vom Rang n ist ein Tripel (E,B, \pi), bestehend aus topologischen Räumen E (Totalraum) und B (Basis) sowie einer stetigen surjektiven Abbildung \pi \colon E \to B, so dass gilt:

  • Für jeden Punkt x von B trägt die Faser E_x := \pi^{-1}(x) von E über x die Struktur eines reellen beziehungsweise komplexen n-dimensionalen Vektorraums.
  • „Lokale Trivialität“: Zu jedem Punkt x \in B existiert eine Umgebung U von x und ein Homöomorphismus
\psi \colon U \times \mathbb{K}^n \to E|_U := \pi^{-1}(U) \subseteq E,
der mit \pi kompatibel ist, das heißt \pi \circ \psi = \operatorname{pr}_1, und für den
\psi_y \colon \{ y \} \times \mathbb{K}^n \to E_y
für jedes y in U ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Dabei bezeichnet \operatorname{pr}_1 die Projektion auf den ersten Faktor. Ein solches \psi heißt lokale Trivialisierung.

Ein Vektorbündel (E,B,\pi) heißt trivial, wenn es eine Trivialisierung mit U=B gibt. (B \times \mathbb{K}^n,B,\operatorname{pr}_1) ist ein triviales Vektorbündel.

Geradenbündel[Bearbeiten]

Ein Vektorbündel mit Rang 1 wird Geradenbündel (als Fehlübersetzung aus dem Englischen auch Linienbündel) genannt.

Beispiele[Bearbeiten]

Das Möbiusband als ein Vektorbündel über dem Kreis

Homomorphismus von Vektorbündeln[Bearbeiten]

Homomorphismus[Bearbeiten]

Ein Vektorbündelhomomorphismus von dem Vektorbündel \pi_1 \colon E_1 \to B_1 in das Vektorbündel \pi_2 \colon E_2 \to B_2 ist ein Paar (f,g) von stetigen Abbildungen f \colon E_1 \to E_2 und g \colon B_1 \to B_2, so dass

Oftmals wird ein Vektorbündelhomomorphismus kurz als Bündelhomomorphismus oder als Homomorphismus bezeichnet.

Isomorphismus[Bearbeiten]

Ein Vektorbündelhomomorphismus (f,g) von \pi_1 \colon E_1 \to B_1 nach \pi_2 \colon E_2 \to B_2 ist ein Vektorbündelisomorphismus, falls f und g Homöomorphismen sind und die induzierte lineare Abbildung  \pi_1^{-1}(\{x\}) \to \pi_2^{-1}(\{g(x)\}) ein Vektorraumisomorphismus ist.

Beispiel[Bearbeiten]

Betrachtet man den Kreis S^1 als Mannigfaltigkeit, dann ist das Tangentialbündel T S^1 \to S^1 vom S^1 isomorph zu dem trivialen Vektorbündel S^1 \times \R \to S^1. Der Homöomorphismus zwischen den Basisräumen ist die identische Abbildung und der zwischen den Totalräumen lautet

(e^{i \theta}, i t e^{i \theta}) \mapsto (e^{i \theta}, t)

für e^{i \theta} \in S^1 und t \in \R.

Unterstrukturen[Bearbeiten]

Untervektorbündel[Bearbeiten]

Mit E_x werden die Fasern des Vektorbündels  \pi \colon E \to B am Punkt x \in B bezeichnet. Ein Untervektorbündel des Vektorbündels  \pi \colon E \to B besteht aus einem topologischen Teilraum U \subset E bestehend aus einer Familie von Untervektorräumen U_x von E_x, so dass \pi_U \colon U \to B ein eigenes Vektorbündel ist.

Eingeschränktes Vektorbündel[Bearbeiten]

Mit E_x werden wieder die Fasern des Vektorbündels  \pi \colon E \to B am Punkt x \in B bezeichnet und D \subset B bezeichnet einen topologischen Teilraum. Das auf D eingeschränkte Vektorbündel \pi_D \colon E_D \to D ist definiert durch

E_D := E|_D := \bigcup_{m \in D} E_m \quad \text{und} \quad \pi_D := \pi|_D.

Das eingeschränkte Vektorbündel ist ein eigenständiges Vektorbündel bezüglich des topologischen Teilraums D.

Weitere Objekte bei Vektorbündeln[Bearbeiten]

Schnitt[Bearbeiten]

Hauptartikel: Schnitt (Faserbündel)

Ist U eine offene Teilmenge von B, so heißt eine Abbildung

s \colon U \rightarrow E|_U\,,

für die \pi \circ s = \operatorname{id}|_U gilt, ein Schnitt von E über U. Die Menge Γ(U,E) aller Schnitte von E über U bildet einen Vektorraum.

Rahmen[Bearbeiten]

Unter einem Rahmen (auf englisch Frame) versteht man eine Art Basis eines Vektorbündels. Es handelt sich um eine Teilmenge des Vektorbündels, welche an jedem Punkt eine Basis des zugehörigen Vektorraums bildet. Präzise bedeutet dies:

Sei \pi \colon E \to B ein Vektorbündel mit Rang n und sei U \subset B eine offene Teilmenge des Basisraums. Ein lokaler Rahmen von E über U ist ein geordnetes n-Tupel (\sigma_1, \ldots, \sigma_n). Dabei ist für alle i \sigma_i ein Schnitt in E über U, so dass (\sigma_1(p), \ldots, \sigma_n(p)) eine Vektorraumbasis der Faser E_p für alle p \in U bildet. Falls man U = B wählen kann, so spricht man von einem globalen Rahmen.

Vektorbündel mit zusätzlichen Strukturen[Bearbeiten]

Differenzierbares Vektorbündel[Bearbeiten]

Sei \pi \colon E \to B ein Vektorbündel. Sind E und B differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sind die Projektion \pi sowie die Trivialisierungen \psi differenzierbar, so heißt das Vektorbündel differenzierbar. Es heißt glatt, wenn die Mannigfaltigkeiten glatt sind und die Abbildungen beliebig oft differenzierbar sind.

Holomorphes Vektorbündel[Bearbeiten]

Ein holomorphes Vektorbündel ist ein komplexes Vektorbündel \pi \colon E \to M über einer komplexen Mannigfaltigkeit M, so dass der Totalraum E eine komplexe Mannigfaltigkeit und die Projektion \pi eine holomorphe Abbildung ist.

G-Vektorbündel[Bearbeiten]

Sei G eine Gruppe. Wenn E und B G-Räume sind, dann ist ein Vektorbündel \pi \colon E \to B ein G-Vektorbündel falls die Gruppenwirkung

g \colon E_x\rightarrow E_{gx}

für alle g\in G , x\in B eine lineare Abbildung ist.[2]

Klassifizierender Raum und klassifizierende Abbildung[Bearbeiten]

Der klassifizierende Raum für k-dimensionale reelle Vektorbündel ist die Graßmann-Mannigfaltigkeit der k-dimensionalen Unterräume im \R^\infty, diese wird als BO(k) bezeichnet. Das bedeutet: jedes k-dimensionale reelle Vektorbündel E\to B ist von der Form f^*\gamma^k für eine stetige Abbildung f\colon M\to BO(k) (die sogenannte klassifizierende Abbildung des Bündels) und das tautologische Bündel \gamma^k\to BO(k), und zwei Bündel sind isomorph genau dann, wenn ihre klassifizierenden Abbildungen homotop sind.

Analog ist BU(k), die Graßmann-Mannigfaltigkeit der k-dimensionalen Unterräume im \C^\infty, der klassifizierende Raum für k-dimensionale komplexe Vektorbündel.

Stabile Vektorbündel[Bearbeiten]

Zwei Vektorbündel E\to B und F\to B heißen stabil äquivalent, wenn es triviale Vektorbündel G\to B, H\to B (nicht notwendig derselben Dimension) mit

E\oplus G\cong F\oplus H

gibt. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation werden als stabile Vektorbündel bezeichnet. (Diese Definition steht in keinem Zusammenhang mit dem Begriff der stabilen Vektorbündel in der Algebraischen Geometrie.)

Es seien BO=\cup BO(k) und BU=\cup BU(k) die aufsteigenden Vereinigungen (d.h. die Kolimiten bzgl. der mittels Gr(k,2k)\subset Gr(k+1,2k+2) definierten Inklusionen BO(k)\subset BO(k+1) und BU(k)\subset BU(k+1)), dann kann man zu einem Vektorbündel E\to B und seiner klassifizierenden Abbildung B\to BO(k) bzw. B\to BU(k) die Komposition mit der Inklusion BO(k)\to BO bzw. BU(k)\to BU betrachten. Zwei Vektorbündel sind genau dann stabil äquivalent, wenn die entsprechenden Abbildungen B\to BO bzw. B\to BU homotop sind.

Vektorbündel in der algebraischen Geometrie[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Für (algebraische) Vektorbündel in der algebraischen Geometrie sind E und B Schemata, E_x ist für alle Punkte x von B ein \kappa(x)-Vektorraum, und die lokalen Trivialisierungen sind Isomorphismen

U \times A^n \to E|_U

Meist ist mit „Vektorbündel“ in der algebraischen Geometrie jedoch eine lokal freie Garbe gemeint (s.u.).

Lokalfreie Garbe[Bearbeiten]

Es sei (X, OX) ein lokal geringter Raum, z.B. ein topologischer Raum mit der Garbe der stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen, eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Garbe der C-Funktionen oder ein Schema.

Eine lokal freie Garbe ist ein OX-Modul M, der lokal isomorph zu einem freien OX-Modul ist, d.h. X kann durch offene Mengen U überdeckt werden, für die M|U isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von OX|U ist.

Lokalfreie Garben und Vektorbündel[Bearbeiten]

Die beiden folgenden Konstruktionen liefern im Fall von topologischen Räumen oder differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine Äquivalenz der Kategorien von lokal freien Garben sowie Vektorbündeln auf X (der Einfachheit der Notation halber ist der Fall von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum beschrieben):

  • Einem Vektorbündel wird die Garbe seiner Schnitte zugeordnet.
  • Einer lokal freien Garbe M wird die disjunkte Vereinigung E ihrer Fasern Mx/mxMx zugeordnet. Wir wählen eine offene Überdeckung (Ui) von X, so dass M auf jedem Ui trivial wird. Eine Trivialisierung definiert n nirgends verschwindende Schnitte von M über Ui, die fasernweise eine Basis bilden. Diese definieren eine Abbildung
Ui × RnE,
und wir definieren die Topologie auf E dadurch, dass wir fordern, dass diese Abbildungen Homöomorphismen sind. Sie ist wohldefiniert, da sich diese Abbildungen über dem Schnitt zweier Mengen Ui und Uj nur um einen Homöomorphismus (genauer gesagt einen stetig variierenden Vektorraumautomorphismus von Rn) unterscheiden.

Im Fall der algebraischen Geometrie ist diese Konstruktion etwas einfacher: das Bündel zu einer lokalfreien Garbe E ist

V(E) := Spec S(E)

dabei bezeichnet S die symmetrische Algebra und Spec das Algebrenspektrum.

Weiterführende Begriffe[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Vector bundles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. John Baez, Javier P. Muniain: Gauge fields, knots and gravity (= Series on knots and everything 4). World Scientific, Singapore u. a. 1994, ISBN 981-02-2034-0, S. 200.
  2. Graeme Segal: Equivariant K-theory