Verallgemeinerte Entropie

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Die verallgemeinerte oder generalisierte Entropie respektive der verallgemeinerte/generalisierte Entropie-Index (Abkürzung: GE) ist eine allgemeine Formel zur Redundanzmessung (von Daten). Die Redundanz kann als Disparität (Ungleichheit), Mangel an Diversität, Nichtzufälligkeit, Verdichtbarkeit oder Segregation der Daten betrachtet werden. Hauptsächlich findet dieses Maß als Ungleichverteilungsmaß Anwendung.[1] Es gleicht der Definition der Redundanz, das auf der Shannon-Entropie basiert, wenn \alpha = 1, welche in der Ungleichverteilungsmessung auch als Theil-Index T_T bezeichnet wird. Vollkommen unterschiedliche Daten haben keine Redundanz, so dass GE = 0, woraus folgt, dass es in der entgegengesetzten Richtung eines Disparitätsmaßes. Dieser nimmt bei Ordnung eher als bei Unordnung zu, also ist es ein negiertes Maß der Entropie.

Formel[Bearbeiten]

Die Formel lautet:

GE (\alpha) = \begin{cases}
\frac{1}{N \alpha (\alpha - 1)} \sum_{i = 1}^N\left[ \left(\frac{y_i}{\overline{y}} \right)^\alpha - 1 \right] & \mathrm{f\ddot{u}r} \text{ reelle Werte } \alpha \ne 0, 1\, ,\\
\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N\left[ \frac{y_i}{\overline{y}} \ln\left(\frac{y_i}{\overline{y}} \right)\right] & \mathrm{f\ddot{u}r} \, \alpha = 1\, ,\\
\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N \ln\left(\frac{\overline{y}}{y_i} \right) & \mathrm{f\ddot{u}r} \, \alpha = 0\, ,
\end{cases}

wobei y_i das Einkommen jedes Individuums i, das ein Teil von N bezeichnet und \alpha ist die Gewichtung der Abstände zwischen Einkommen bei verschiedenen Teilen der Einkommensverteilung, darstellt. Manchmal wird bei \alpha = \beta + 1 eine andere Notation verwandt.

Für geringere Werte von \alpha nahe 0 ist die GE sensibel bei geringeren Einkommen und vice versa (umgekehrt) für Werte von fast 1. Der T_T liegt bei \alpha = 1 vor und der Theil-L-Index T_L, die mittlere logarithmische Abweichung, bei \alpha = 0. Falls \alpha = 2 ist, beträgt der Wert die Hälfte der Quadratwurzel des Variationskoeffizienten:

GE (\alpha) = 1/2 (\sigma/\mu)^2 \quad \quad\quad \mathrm{f\ddot{u}r} \, \alpha = 2\, .

Die GE ist eine Transformation des Atkinson-Maßes, wobei \epsilon = 1 - \alpha gilt. Diese Transformation ist A = 1 - \exp (- GE), so dass das Atkinson-Maß eine Wahrscheinlichkeit anstatt einer Entropie ist.

Wenn y_i von \alpha = 1 durch \tfrac{1}{y_i} (beispielsweise: Einkommen pro Person verändert sich zu Person je Einkommen) ersetzt wird, dann ist \alpha = 1 mit \alpha = 0 äquivalent.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Aman Ullah, David Evan Albert Giles: Handbook of Applied Economic Statistics. CRC Press, 1998. ISBN 0824701291.