Vermutungen von Paul Erdős

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Der Mathematiker Paul Erdős hat in seinen Arbeiten viele Vermutungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik aufgestellt.

Vermutungen im Gebiet der Zahlentheorie[Bearbeiten]

1^n+2^n+\ldots+m^n=(m+1)^n
nur die Lösungen (n,m)=(0,1) und (1,2) hat.
\frac4n=\frac1a+\frac1b+\frac1c
für jede natürliche Zahl n>1 eine Lösung in natürlichen Zahlen a,b,c hat.
  • \{n\in\mathbb{N}|\forall\; k\in\mathbb{N}:\;\; 2^k<n \Rightarrow n-2^k\in\mathbb{P}\}
=\{4,7,15,21,45,75,105\}
Betrachten wir die Menge S aller natürlichen Zahlen n mit folgender Eigenschaft:
Für jede natürliche Zahl k mit k>0 und 2k < n ist n - 2k eine Primzahl.
Dann enthält S sicherlich die Zahlen 4,7,15,21,45,75,105.
Zum Beispiel ist 45 in S, weil die Zahlen 45-2=43, 45-4=41, 45-8=37, 45-16=29, 45-32=13 alles Primzahlen sind.
Die Vermutung besagt nun, dass S nur aus diesen 7 Zahlen besteht.
Bis n = 2^{77} ist diese Vermutung nachgerechnet worden, d.h. es gibt sicherlich keine Zahlen in S außer den genannten, die kleiner als 277 sind.
Jede Zahl n in S (außer 4) liefert automatisch einen Primzahlzwilling, nämlich (n-2, n-4).
Siehe auch: Folge A039669 in OEIS

Vermutungen im Gebiet der Graphentheorie[Bearbeiten]

  • Erdős-Faber-Lovász-Vermutung: Ein Graph, der eine Vereinigung vollständiger Graphen mit k Knoten ist, die paarweise höchstens einen Knoten gemeinsam haben, ist k-chromatisch.
  • Erdős-Gyárfás-Vermutung: Jeder Graph, dessen Knoten alle mindestens Grad 3 haben, enthält einen Kreis, dessen Länge eine Zweierpotenz ist.

Weblinks[Bearbeiten]