Verschobene Pareto-Verteilung

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Die verschobene Pareto-Verteilung ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen.[1] Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

Definition[Bearbeiten]

Eine stetige Zufallsvariable X genügt der verschobenen Pareto-Verteilung \operatorname{Par^\star}(a,b) mit den Parametern a > 0 und b > 0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)=\begin{cases}
             ab(1+bx)^{-(a+1)}      &  x\geq 0 \\
             0                      &  x<0.
            \end{cases}

besitzt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

\operatorname{E}(X)    = \frac{1}{b(a-1)}.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz ist angebbar als

\operatorname{Var} (X) = \frac{1}{b^2}\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right).

Standardabweichung[Bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

\sigma(X)              = \sqrt{\frac{1}{b^2}\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right)}.

Variationskoeffizient[Bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{a(a-1)^2}{a-2}-a^2}.

Schiefe[Bearbeiten]

Für die Schiefe resultiert

\operatorname{v}(X)    = \frac{\displaystyle\frac{a}{a-3}-3\frac{a^2}{(a-2)(a-1)}+2\frac{a^3}{(a-1)^3}}
                         {\displaystyle\left(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1)^2}\right)^{\frac{3}{2}}}.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Literatur[Bearbeiten]

  • Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Christian Hipp: Risikotheorie 1 (Skriptum), S 179, abgerufen am 17. Juni 2011