Versiera der Agnesi

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VersieraAgnesi2.png

Die Versiera der Agnesi, auch Versiera der Maria Agnesi, ist eine spezielle ebene Kurve, eine algebraische Kurve 3. Ordnung, die mit Hilfe konstruktiver Methoden auf der Grundlage eines Kreises erzeugt wird. Die Kurve an sich entspricht der Kurve der Cauchy-Verteilung.

Die Kurve wurde bereits 1703 von Pierre de Fermat und Guido Grandi untersucht. Sie ist benannt nach der Mathematikerin Maria Agnesi, die sie 1748 veröffentlichte. Die italienische Bezeichnung la versiera di Agnesi ist angelehnt an lateinisch versoria (Schot bei Segelschiffen) und an den Sinus versus. Das wurde vom Cambridge-Professor John Colson als l'avversiera di Agnesi gelesen, wobei avversiera „Frau, die gegen Gott gerichtet ist“ bedeutet und als „Hexe“ (witch) interpretiert wurde, weshalb die Kurve im Englischen witch of Agnesi („Hexe von Agnesi“) heißt.[1][2][3]

Konstruktion[Bearbeiten]

Die Versiera der Agnesi mit benannten Punkten

Beginnend mit einem festen Kreis wird ein Punkt O auf dem Kreis gewählt. Für jeden anderen Punkt A auf dem Kreis wird die Sekante OA gezeichnet. Der Punkt M ist diametrisch gegenüberliegend zu O. Die Linie OA schneidet die Tangente in M am Punkt N. Die Linie parallel zu OM durch N und die Linie rechtwinklig zu OM durch A schneiden sich in P. Wird der Punkt A geändert, so ist der Weg von P die Versiera der Agnesi.

Die Kurve ist asymptotisch zu der Tangente an den Kreis im Punkt O.

Gleichungen der Versiera der Agnesi[Bearbeiten]

Eine Animation, die die Konstruktion der Versiera der Agnesi darstellt

Angenommen, das kartesische Koordinatensystem habe den Ursprung in O und M liege auf der positiven y-Achse; weiter sei der Durchmesser des Kreises gleich a. Dann ergeben sich folgende Gleichungen der Versiera der Agnesi:

  • Kartesische Koordinaten: (x^2 + a^2) y - a^3 = \, 0 oder y = \frac{a^3}{x^2 + a^2}
  • Parametergleichung:  x = a t \; , y = {a\over t^2 + 1}
  • Parametergleichung mit dem Winkel \theta, wenn \theta der Winkel zwischen OM und OA ist (gemessen im Uhrzeigersinn): x = a \tan \theta,\ y = a \cos ^2 \theta.\,
  • Parametergleichung mit dem Winkel \theta, wenn \theta der Winkel zwischen OA und der x-Achse ist, zunehmend im Gegenuhrzeigersinn: x = a \cot \theta,\ y=a\sin ^2 \theta.\,

Hierbei ist der Parameter a \in \mathbb{R}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Versiera der Agnesi mit Parametern a=2, a=4, a=8, und a=16
  • Asymptote: y=0
  • Flächeninhalt zwischen Kurve und Asymptote: \pi a^2
  • Rotationsvolumen der Kurve um ihre Asymptote: \frac{1}{2}\pi^2 a^3
  • Krümmungsradius am Scheitelpunkt (x,\,y) = (0,\, a): R = \frac{a}{2}.
  • Zwei Wendepunkte: (x,\,y) = \left(\pm \frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{4} \right)
  • Stellt man die Darstellung in kartesischen Koordinaten nach y um, so erhält man  y(x) = \frac{a^3}{x^2 + a^2}. Damit ist  Y(x) = a^2 \arctan \frac{x}{a} eine Stammfunktion von y(x), also Y'(x) = y(x).

Variante[Bearbeiten]

Gelegentlich wird die waagrechte Gerade (oben MN) nicht durch den Nordpol des Kreises, sondern durch seinen Mittelpunkt gelegt. Die Versiera verläuft dann für Punkte oberhalb dieser Geraden im Innern des erzeugenden Kreises, ihre Gleichung in kartesischen Koordinaten lautet y=\frac{2r^3}{x^2+r^2}, wobei r der Radius des Kreises ist. Es ergibt sich die erstaunliche Tatsache, dass das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Kurve sich um die x-Achse dreht, genauso groß ist wie das des Torus, den der Kreis bei Drehung um die x-Achse erzeugt, nämlich gleich 2r^3\pi^2.[4]

Literatur[Bearbeiten]

  • Ulrike Klens: Mathematikerinnen im 18. Jahrhundert: Maria Gaetana Agnesi, Gabrielle-Emilie du Châtelet, Sophie Germain: Fallstudien zur Wechselwirkung von Wissenschaft und Philosophie im Zeitalter der Aufklärung. Centaurus, Pfaffenweiler 1998, ISBN 3-89085-826-0 (Zugleich Dissertation an der Universität Augsburg 1992).

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Lynn M. Osen: Women in Mathematics. MIT Press, Cambridge, Mass. 1975, S. 45, ISBN 0-262-15014-X.
  2. Simon Singh: Fermat's Enigma. The quest to solve the world's greatest mathematical problem. Walker Books, New York 1997, S. 100, ISBN 0-471-27047-4.
  3. David J. Darling: The universal book of mathematics. From Abracadabra to Zeno's paradoxes. Wiley International, Hobokem, N.J. 2004, S. 8, ISBN 0-8027-1331-9.
  4. Hermann Schmidt: Ausgewählte höhere Kurven. Kesselringsche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden, 1949, S. 64 ff.

Weblinks[Bearbeiten]