Verzerrtes Produkt

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In der Mathematik und der Physik, insbesondere in der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie, bezeichnet das verzerrte Produkt zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Produktmannigfaltigkeit mit der verzerrten Produktmetrik.

Definition[Bearbeiten]

Unter dem verzerrten Produkt M\times_fN zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M,g_M) und (N,g_N) längs einer strikt positiven Funktion f:M\to(0;\infty) versteht man die Produktmannigfaltigkeit M\times N ausgestattet mit dem metrischen Tensor g:=\pi^*(g_M)+(f\circ\pi)^2\sigma^*(g_N). Dabei bezeichnen \pi:M\times N\to M und \sigma:M\times N\to N die natürlichen Submersionen und g^* den Pullback eines Tensors unter einer Abbildung g zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Dabei wird M als Basis und N als Faser der Produktmannigfaltigkeit bezeichnet.

Definition verzerrte Metrik[Bearbeiten]

Unter einer verzerrten Produktmetrik versteht man eine Riemannsche oder Lorentzsche Mannigfaltigkeit, deren Metrik durch

ds^2 \, = g_{ab}(y) dy^a dy^b + f(y) g_{ij}(x) dx^i dx^j

dargestellt werden kann. D. h. insbesondere zerfällt die betrachtete Mannigfaltigkeit in das kartesische Produkt einer „y“- und einer „x“-Geometrie, wobei die „x“-Metrik verzerrt wird.

Literatur[Bearbeiten]

  • Barrett O’Neill: Semi-Riemannian Geometrie, With Applications to Relativity, Academic Press, 1983