Verzerrungstensor

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Verzerrungstensoren oder Deformationstensoren beschreiben das Verhältnis von Momentankonfiguration zur Ausgangskonfiguration bei der Deformation von kontinuierlichen Körpern und damit Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente. Diese Änderung (=Deformation) der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Gestalt des Festkörpers und werden damit beispielsweise als Dehnung, Stauchung, Scherung usw. sichtbar.

In der Literatur ist eine Vielzahl solcher Definitionen bekannt, die aus dem Deformationsgradienten gebildet werden.

Zunächst lassen sich damit der rechte Cauchy-Green Tensor

\bold{C} = \bold{F^{\rm T} \cdot F}

bzgl. der Ausgangskonfiguration und der linke Cauchy-Green Tensor

\bold{b} = \bold{F \cdot F^{\rm T}}

bzgl. der Momentankonfiguration bilden.

Damit sind diese beiden Tensoren zwangsweise symmetrisch und im Fall einer Nicht-Deformation gleich der Identität - als Matrix ausgedrückt also die Einheitsmatrix bzgl. des jeweiligen Basissystems.

Für ingenieurtechnische Anwendungen wünscht man gewöhnlich allerdings Größen, die bei Nicht-Deformation eine Null darstellen. Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrange-Verzerrungstensors

\bold{E} = \frac{1}{2}(\bold{F^{\rm T}\cdot F-I})

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

\bold{e} = \frac{1}{2}(\bold{I-(F \cdot F^{\rm T})^{-1}}).

Daneben existiert aber noch eine Vielzahl weiterer ähnlicher Definitionen, die jeweils ihre Berechtigung und Vorteile in verschiedenen Theorien besitzen.

Hauptachsendarstellung der Verzerrungstensoren[Bearbeiten]

Die Tensoren \bold{C} und \bold{b} lassen sich auch durch Hauptachsentransformation in ihrem Hauptachsensystem darstellen. Die dadurch bestimmten drei Eigenwerte \lambda_1^2, \lambda_2^2, \lambda_3^2 sind für \bold{C} und \bold{b} identisch und stellen die Quadrate der sog. Hauptstreckungen dar.

Linearisierter Verzerrungstensor[Bearbeiten]

Zur Beschreibung kleiner Verzerrungen wird in der technischen Mechanik üblicherweise der linearisierte Verzerrungstensor \boldsymbol{\varepsilon} verwendet. Man erhält ihn durch Linearisierung der Größen \bold{E} oder \bold{e}. Hierzu setzt man die Definition des Deformationsgradienten in den Verzerrungstensor ein,


\mathbf{E} = \frac{1}{2}\Bigl[
\Bigl(\mathbf{I}+\frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr){}^T
\Bigl(\mathbf{I}+\frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr)
-
\mathbf{I}\Bigr]
=  \frac{1}{2}\Bigl[  \Bigl(\frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr){}^T
+ \frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}
+\Bigl(\frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr){}^T \frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}
\Bigr]
\quad\text{mit}\quad \mathbf{F} = \mathbf{I} + \frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}.

Für kleine Verschiebungen kann der letzte Term vernachlässigt werden. Dadurch erhält man den linearisierten Verzerrungstensor

\boldsymbol{\varepsilon}=
\frac{1}{2}\Bigl[  \Bigl(\frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr){}^T
+ \frac{\mathrm{d}\,\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}\Bigr] =
\begin{pmatrix}
  \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
  \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
  \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{pmatrix},

mit den Komponenten


\begin{matrix}
&\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial X_x},\;
\varepsilon_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial X_y},\;
\varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial X_z},\;
\varepsilon_{xy}=\epsilon_{yx}=\frac12\left(\frac{\partial u_x}{\partial X_y}+
\frac{\partial u_y}{\partial X_x}\right),\\
&\varepsilon_{yz}=\epsilon_{zy}=\frac12\left(\frac{\partial u_y}{\partial X_z}+
\frac{\partial u_z}{\partial X_y}\right),\;
\varepsilon_{zx}=\epsilon_{xz}=\frac12\left(\frac{\partial u_z}{\partial X_x}+
\frac{\partial u_x}{\partial X_z}\right).
\end{matrix}

Literatur[Bearbeiten]