Verzerrungstensor

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Verzerrungstensoren sind einheitenfreie Tensoren zweiter Stufe, die das Verhältnis von Momentankonfiguration zur Ausgangskonfiguration bei der Deformation von kontinuierlichen Körpern und damit Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente beschreiben. Diese Änderung (=Deformation) der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Gestalt des Festkörpers und werden damit beispielsweise als Dehnung, Stauchung, Scherung usw. sichtbar. Die Verzerrungstensoren sind eine wesentliche Größe in der Beschreibung der Kinematik der Deformation und in der Kontinuumsmechanik werden eine Reihe von verschiedenen Verzerrungstensoren definiert. Die Benennung dieser Verzerrungstensoren ist nicht einheitlich.

Die Verzerrungstensoren werden vor allem für die Formulierung von Materialmodellen, z. B. der Hyperelastizität, verwendet, die eine Relation zwischen den Spannungen im Material und seinen Deformationen herstellen. Solche Materialmodelle werden dazu benutzt, Verformungen von Körpern zu berechnen.

Einleitung[Bearbeiten]

In der Literatur ist eine Vielzahl von Verzerrungstensoren bekannt, die aus dem Deformationsgradienten gebildet werden. Für deren Definition führt man die Verschiebungen

 \vec{u}(\vec{X},t)=\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{X}

als Differenzvektor zwischen der momentanen Lage \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t) eines Partikels und seiner Ausgangslage  \vec{X}
=\sum_{i=1}^{3}X_{i}\vec{e}_{i} ein, mit  X_{i} als den materiellen Koordinaten des Partikels bezüglich der Standardbasis. Der Verschiebungsgradient

 \mathbf{H}=\frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}
= \sum_{i,j=1}^3
\frac{\mathrm{d} u_i}{\mathrm{d} X_j} \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j

ist dann die Ableitung der Verschiebungen u_i nach den materiellen Koordinaten X_j. Damit bekommt man den Deformationsgradient

 \mathbf{F}
=\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}}{\mathrm{d}\vec{X}}
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vec{X}}(\vec{u}+\vec{X})
=\mathbf{H}+\mathbf{I}

worin  \mathbf{I} der Einheitstensor ist. Zunächst lassen sich damit der rechte Cauchy-Green-Tensor

\bold{C} = \bold{F^{\rm T} \cdot F}

bzgl. der Ausgangskonfiguration und der linke Cauchy-Green-Tensor

\bold{b} = \bold{F \cdot F^{\rm T}}

bzgl. der Momentankonfiguration bilden.

Diese beiden Tensoren sind symmetrisch und im Fall einer Nicht-Deformation gleich der Identität – als Matrix ausgedrückt also die Einheitsmatrix bzgl. des jeweiligen Basissystems.

Für ingenieurtechnische Anwendungen wünscht man gewöhnlich allerdings Größen, die bei Nicht-Deformation eine Null darstellen. Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrange-Verzerrungstensors

\bold{E} = \frac{1}{2}(\bold{F^{\rm T}\cdot F-I})

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

\bold{e} = \frac{1}{2}(\bold{I-(F \cdot F^{\rm T})^{-1}}).

Daneben existiert aber noch eine Vielzahl weiterer ähnlicher Definitionen, die jeweils ihre Berechtigung und Vorteile in verschiedenen Theorien besitzen.

Linearisierter Verzerrungstensor[Bearbeiten]

Zur Beschreibung kleiner Verzerrungen wird in der technischen Mechanik üblicherweise der linearisierte Verzerrungstensor \boldsymbol{\varepsilon} verwendet. Dieser Verzerrungstensor wird auch Ingenieursdehnung genannt, denn bei vielen Anwendungen im technischen Bereich liegen kleine Dehnungen vor oder sie müssen aus sicherheitstechnischen Gründen klein gehalten werden. Man erhält den linearisierten Verzerrungstensor durch Linearisierung der Größen \bold{E} oder \bold{e}. Hierzu setzt man die Definition des Deformationsgradienten in den Verzerrungstensor ein,


\mathbf{E} = \frac{1}{2}\Bigl[
\mathbf{F}^\mathrm{T}\mathbf{F}
-
\mathbf{I}\Bigr]
=  \frac{1}{2}\Bigl[
\Bigl(\mathbf{I}+\mathbf{H}\Bigr){}^\mathrm{T}
\Bigl(\mathbf{I}+\mathbf{H}\Bigr)
-
\mathbf{I}\Bigr]
= \frac{1}{2}\Bigl[ \mathbf{H} + \mathbf{H}^\mathrm{T}
+ \mathbf{H}^\mathrm{T} \mathbf{H}\Bigr]

Bei kleinen Verschiebungen kann der letzte Term vernachlässigt werden und man erhält den linearisierten Verzerrungstensor

\boldsymbol{\varepsilon}=
\frac{1}{2}\Bigl[  \mathbf{H} + \mathbf{H}^\mathrm{T} \Bigr]
=
\begin{pmatrix}
  \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
  \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
  \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{pmatrix},

mit den Komponenten


\begin{matrix}
&\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial X_x},\;
\varepsilon_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial X_y},\;
\varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial X_z},\;
\varepsilon_{xy}=\varepsilon_{yx}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial X_y}+
\frac{\partial u_y}{\partial X_x}\right),\\
&\varepsilon_{yz}=\varepsilon_{zy}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial X_z}+
\frac{\partial u_z}{\partial X_y}\right),\;
\varepsilon_{zx}=\varepsilon_{xz}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_z}{\partial X_x}+
\frac{\partial u_x}{\partial X_z}\right).
\end{matrix}

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Ein Tensor  \mathbf{E} ist ein geeignetes Verzerrungsmaß, wenn er drei Forderungen genügt[1]:

  1.  \mathbf{E} verschwindet bei Starrkörperbewegungen ( Verschiebung und/oder Drehung ohne Formänderung )
  2.  \mathbf{E} ist eine monotone, stetige und stetig differenzierbare Funktion des Verschiebungsgradienten  \mathbf{H} und
  3.  \mathbf{E} geht bei kleinen Verschiebungen in den linearisierten Verzerrungstensor  \boldsymbol{\varepsilon} über.

Die Polarzerlegung des Deformationsgradienten  \mathbf{F}=\mathbf{R U}=\mathbf{v R} spaltet die Verformung lokal in eine reine Drehung, vermittelt durch den Rotationstensor  \mathbf{R} (mit  \mathbf{R R}^{\mathrm{T}}=\mathbf{I} und der Determinante  \mathrm{det}(\mathbf{R})
=1 ), und eine reine Streckung, vermittelt durch die symmetrischen positiv definiten rechten bzw. linken Strecktensoren \mathbf{U} bzw. \mathbf{v}. Letztere dienen der Definition einer Vielzahl von Verzerrungstensoren.

In seiner natürlichen Darstellung in konvektiven Koordinaten ist der rechte Streck-Tensor \mathbf{U} kovariant und der linke Strecktensor \mathbf{b} kontravariant. Diese Eigenschaft überträgt sich auf die mit ihnen gebildeten Verzerrungstensoren. Durch Invertierung werden kovariante Tensoren kontravariant und umgekehrt.

Seth-Hill-Familie von Verzerrungstensoren[Bearbeiten]

Die Verzerrungstensoren

 \mathbf{E}_{(m)}
=\frac{1}{2m}(\mathbf{U}^{{2m}}-\textbf{I})
=\frac{1}{2m}(\mathbf{C}^{m}-\textbf{I})

und

 \mathbf{e}_{(m)}
=\frac{1}{2m}(\mathbf{v}^{{2m}}-\textbf{I})
=\frac{1}{2m}(\mathbf{b}^{m}-\textbf{I}) ,

die sich für verschiedene Werte des Parameters  m ergeben, genügen den Bedingungen der allgemeinen Definition[2]. Für die verschiedenen Werte von  m hat man in der materiellen Beschreibung die Tensoren:

m Verzerrungstensor \nabla\Delta Name Andere Namen[3]
1  \mathbf{E}_{(1)}
=\frac{1}{2}(\mathbf{U}^{2}-\textbf{I})
=\frac{1}{2}(\mathbf{C}-\textbf{I}) \Delta Green-Lagrange-Verzerrungstensor Green- oder St.-Venant-Dehnungen
 \frac{1}{2}  \mathbf{E}_{(1/2)}
=\mathbf{U}-\mathbf{I}
=\sqrt{\mathbf{C}}-\mathbf{I} \Delta Biot-Verzerrungstensor Materieller Biot-, Cauchy- oder Swainger-Verzerrungstensor
0  \mathbf{E}_{(0)}
=\ln (\mathbf{U})
=\frac{1}{2}\ln (\mathbf{C}) \Delta Hencky-Dehnungen materielle logarithmische Dehnungen
-1  \mathbf{E}_{(-1)}
=\frac{1}{2}(\textbf{I}-\mathbf{U}^{-2})
=\frac{1}{2}(\textbf{I}-\mathbf{C}^{-1}) \nabla negativer Piola-Verzerrungstensor[4]

In der räumlichen Beschreibung ergeben sich die Entsprechungen:

m Verzerrungstensor \nabla\Delta Name Andere Namen[3]
1  \mathbf{e}_{(1)}
=\frac{1}{2}(\mathbf{v}^{2}-\textbf{I})
=\frac{1}{2}(\mathbf{b}-\textbf{I}) \nabla negativer Finger-Tensor[4]
0  \mathbf{e}_{(0)}
=\ln (\mathbf{v})
=\frac{1}{2}\ln (\mathbf{b}) \nabla Räumliche Hencky-Dehnungen Räumliche logarithmische Dehnungen
 -\frac{1}{2}  \mathbf{e}_{(-1/2)}
=\mathbf{I}-\mathbf{v}^{-1}
=\mathbf{I}-\sqrt{\mathbf{b}}^{\,-1} \Delta Swainger-Verzerrungstensor Räumlicher Biot-Verzerrungstensor
-1  \mathbf{e}_{(-1)}
=\frac{1}{2}(\textbf{I}-\mathbf{v}^{-2})
=\frac{1}{2}(\textbf{I}-\mathbf{b}^{-1}) \Delta Euler-Almansi-Verzerrungstensor Almansis- oder Hamels-Verzerrungstensor

In den Tabellen bedeutet \Delta Kovarianz und \nabla Kontravarianz.

Beschreibung einiger Verzerrungstensoren[Bearbeiten]

Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor[Bearbeiten]

Streckung und Scherung der Tangenten (rot und blau) an materielle Linien (schwarz) im Zuge einer Deformation

Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor ist aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente  \mathrm{d}\vec{X} und  \mathrm{d}\vec{Y} im Punkt  \vec{X} motiviert, siehe Abbildung rechts:

 \mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}-\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}
=\mathbf{F}\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{F}\mathrm{d}\vec{Y}-\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}
=2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\mathrm{d}\vec{Y} .

Für die Dehnung \varepsilon in eine Richtung  \vec{e}_{1} ergibt sich dann:

 \varepsilon
=\frac{|\mathrm{d}\vec{x}|-|\mathrm{d}\vec{X}|}{|\mathrm{d}\vec{X}|}
=\sqrt{1+\vec{e}_{1}\cdot \mathbf{E}\vec{e}_{1}} - 1 wenn  \frac{\mathrm{d}\vec{X}}{|\mathrm{d}\vec{X}|}
=\vec{e}_{1} .

Die Scherung  \gamma lautet, wenn in der Ausgangskonfiguration  \mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}
=0 ist:

 \sin (\gamma ):
=\frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot
\mathrm{d}\vec{y}}{|\mathrm{d}\vec{x}||\mathrm{d}\vec{y}|}
=\frac{2\vec{e}_{1}\cdot\mathbf{E}\vec{e}_{2}}
{\sqrt{1+\vec{e}_{1}\cdot \mathbf{E}\vec{e}_{1}}
\sqrt{1+\vec{e}_{2}\cdot \mathbf{E}\vec{e}_{2}}} mit 
\vec{e}_{2}=\frac{\mathrm{d}\vec{Y}}{|\mathrm{d}\vec{Y}|} .

Der Euler-Almansi-Verzerrungstensor[Bearbeiten]

Der Euler-Almansi-Verzerrungstensor

\bold{e} = \frac{1}{2}(\mathbf{I}
-\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\cdot \mathbf{F}^{-1})

kann analog zum Green-Lagrange-Verzerrungstensor aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente  \mathrm{d}\vec{x} und  \mathrm{d}\vec{y} im Punkt  \vec{x} motiviert werden:

 \mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}-\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}
=\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}
-\mathbf{F}^{-1}\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathbf{F}^{-1}\mathrm{d}\vec{y}
=2\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathbf{e} \mathrm{d}\vec{y} .

Für die Dehnung \varepsilon in eine Richtung  \vec{e}_{1} ergibt sich dann:

 \varepsilon
=\frac{1}{\sqrt{1-2\vec{e}_{1}\cdot \mathbf{e}\vec{e}_{1}}}-1 mit  \vec{e}_{1}=\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} .

Der Henky-Verzerrungstensor[Bearbeiten]

Der Henky-Verzerrungstensor wird über die Hauptachsentransformation des rechten Strecktensors  \mathbf{U} berechnet. Weil dieser symmetrisch und positiv definit ist, lautet seine spektrale Zerlegung

 \mathbf{U}
=\sum_{i
=1}^{3}\lambda_{i}\vec{v}_{i}\otimes \vec{v}_{i}

wenn  \lambda_{i} die sämtlich positiven Eigenwerte und  \vec{v}_{i} die auf eins normierten und paarweise orthogonalen Eigenvektoren von  \mathbf{U} sind. Dann berechnet sich der Henky-Verzerrungstensor aus

 \mathbf{E}_{H}:
=\ln (\mathbf{U}):
=\sum_{i=1}^{3}\ln (\lambda_{i})\vec{v}_{i}\otimes \vec{v}_{i} .

Seine Spur ist wegen


\mathrm{Sp}(\mathbf{E}_{H})
= \sum_{i=1}^{3}\ln (\lambda_{i})\vec{v}_{i}\cdot \vec{v}_{i}
= \ln (\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3})
= \ln (\mathrm{det}(\mathbf{U}))
= \ln (\mathrm{det}(\mathbf{F}))

ein Maß für die Kompression am Ort. Bei kleinen Verzerrungen ist

 \ln (\mathrm{det}(\mathbf{F})) \approx \mathrm{Sp}(\mathbf{H})

weswegen dann die Spur des Verschiebungsgradienten diese Rolle übernimmt.

Der Piola- und Finger-Verzerrungstensor[Bearbeiten]

Streckung und Scherung der Normalen (rot und blau) an materielle Flächen (grau) im Zuge einer Deformation

Der Piola-Verzerrungstensor  \mathbf{E}_{P}=-\mathbf{E}_{(-1)} ist aus dem Vergleich der Normalenvektoren  \vec{N} an materielle Flächen motiviert. Eine Familie von Flächen kann durch eine skalare Funktion

 \Phi(\vec{X},t)=C

und einen Flächenparameter  C definiert werden. Im Zuge der Deformation wird daraus

 \phi(\vec{x},t)
:=\Phi(\vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t),t)
=C .

Die Normalenvektoren an diese Flächen sind in der räumlichen Beschreibung die Gradienten

 \vec{n}:=\mathrm{grad}(\phi)
=\sum_{i=1}^{3}\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x_{i}}\vec{e}_{i}

und die Normalen in der materiellen Beschreibung kann man mit

 \vec{N}
=\sum_{i=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}X_{i}}\vec{e}_{i}
=\sum_{i,j=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x_{j}}
 \frac{\mathrm{d}x_{j}}{\mathrm{d}X_{i}}\vec{e}_{i}
=\sum_{i,j=1}^{3}
 \frac{\mathrm{d}x_{j}}{\mathrm{d}X_{i}}\vec{e}_{i}\otimes \vec{e}_{j}
 \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x_{k}}\vec{e}_{k}
=\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\vec{n}

berechnen woraus sich

 \vec{n}=\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\vec{N} .

ergibt. Mit einer anderen skalaren Funktion  \Psi(\vec{X},t) kann eine andere Familie von Flächen definiert werden, deren Normalenvektoren  \vec{M} bzw.  \vec{m} über

 \vec{m}=\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\vec{M}

in Beziehung stehen. Der Vergleich der Skalarprodukte der Normalenvektoren in der deformierten und undeformierten Lage in einem materiellen Punkt  \vec{X} führt auf den Piola-Verzerrungstensor

 \vec{m}\cdot \vec{n}-\vec{M}\cdot \vec{N}
=\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\vec{M}\cdot \mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}\vec{N}-\vec{M}\cdot \vec{N}
=2\vec{M}\cdot \frac{1}{2}(\mathbf{F}^{-1}\mathbf{F}^{\mathrm{T}-1}-\textbf{I})\vec{N}
=2\vec{M}\cdot \mathbf{E}_{P}\vec{N} ,

der also ein Maß für die Deformationen der materiellen Flächen ist. Der Piola-Verzerrungstensor operiert in der Ausgangskonfiguration.

Sein Gegenstück in der Momentankonfiguration ist der Finger-Tensor[4]

 \mathbf{e}_{F}:
=\frac{1}{2}(\textbf{I}-\mathbf{F}\mathbf{F}^{\mathrm{T}})
=\frac{1}{2}(\textbf{I}-\mathbf{b})

für den

 \vec{m}\cdot \vec{n}-\vec{M}\cdot \vec{N}
=\vec{m}\cdot \vec{n}-\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\vec{m}\cdot \mathbf{F}^{\mathrm{T}}\vec{n}
=2\vec{m}\cdot \frac{1}{2}(\textbf{I}-\mathbf{F F}^{\mathrm{T}})\vec{n}
=2\vec{m}\cdot \mathbf{e}_{F}\vec{n}

abgeleitet werden kann.

Deformationsgeschwindigkeiten[Bearbeiten]

Alle realen Materialien sind mehr oder weniger ratenabhängig, das heißt ihr Widerstand gegen eine Deformation hängt davon ab, mit welcher Geschwindigkeit diese Deformation herbeigeführt wird. Für die Beschreibung eines solchen Zusammenhangs werden Deformationsgeschwindigkeiten benutzt. Das Materialverhalten ist beobachterinvariant, die meisten Zeitableitungen der Verzerrungen jedoch nicht. Es wurden aber eine Reihe von Deformationsgeschwindigkeiten definiert, die beobachterinvariant sind.

Der rechte Strecktensor  \mathbf{U} ist körperbezogen objektiv, was bedeutet, dass er von einem Wechsel des Bezugssystems unbeeinflusst ist. Gleiches gilt auch für seine materielle Zeitableitung  \dot{\mathbf{U}} . Dementsprechend sind auch alle aus dieser Zeitableitung gebildeten Verzerrungsgeschwindigkeiten, z. B.

 \dot{\mathbf{E}}
=\frac{1}{2}(\dot{\mathbf{U}}\mathbf{U}+\mathbf{U}\dot{\mathbf{U}}) ,

körperbezogen objektiv.

In der räumlichen Beschreibung kann man nachweisen, dass der linke Strecktensor  \mathbf{v} objektiv ist, seine Rate  \dot{\mathbf{v}} jedoch nicht. Für die Formulierung objektiver Raten der räumlichen Verzerrungstensoren wird der räumliche Geschwindigkeitsgradient

 \mathbf{L}=\dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1}=\mathbf{D}+\mathbf{W}

definiert, dessen symmetrischer Anteil

 \mathbf{D}
=\frac{1}{2}(\mathbf{L}+\mathbf{L}^{\mathrm{T}})

räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und dessen unsymmetrischer Anteil

 \mathbf{W} = \frac{1}{2}(\mathbf{L}-\mathbf{L}^{\mathrm{T}})

Spintensor heißt. Dann lautet die (objektive) kovariante Oldroyd Ableitung eines Tensors  \mathbf{a}  :

 \stackrel{\Delta}{\mathbf{a}}:
=\dot{\mathbf{a}}+\mathbf{a L}+\mathbf{L}^{\mathrm{T}}\mathbf{a} .

Für den Euler-Almansi-Tensor  \mathbf{e} gilt insbesondere

 \stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}
=\mathbf{D}
=\mathbf{F}^{-\mathrm{T}}\dot{\mathbf{E}}\mathbf{F}^{-1} .

Die kontravariante Oldroyd-Ableitung eines Tensors  \mathbf{a} ist definiert als:

 \stackrel{\nabla}{\mathbf{a}}:
=\dot{\mathbf{a}}-\mathbf{L}\mathbf{a}-\mathbf{a L}^{\mathrm{T}} .

Die Raten der kovarianten Tensoren werden üblicher Weise mit der kovarianten Oldroyd-Ableitung gebildet und die der kontravarianten Tensoren mit der kontravarianten Oldroyd Ableitung. Die Jaumann-Rate eines Tensors  \mathbf{a} ist ebenfalls objektiv und definiert als:

 \stackrel{\circ}{\mathbf{a}}:
=\dot{\mathbf{a}}+\mathbf{a W}-\mathbf{W a} .

Siehe auch[Bearbeiten]

Mathematik:

Literatur[Bearbeiten]

  • J. Altenbach, H.Altenbach: Einführung in die Kontinuumsmechanik. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-03096-9, S. 38
  • G. Holzapfel: Nonlinear Solid Mechanics. Wiley, 2000, ISBN 978-0-471-82319-3
  • P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X.
  • A. Bertram: Elasticity and Plasticity of Large Deformations: An Introduction. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24614-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Z. P. Bazant, L. Cedolin: Stability of Structures. Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories. Oxford Univ. Press, 2003, ISBN 0-486-42568-1.
  2. B. R. Seth vom Indian Institute of Technology in Kharagpur war der erste der gezeigt hat, dass der Green-Lagrange- und der Euler-Almansi-Verzerrungstensor Spezialfälle dieses allgemeineren Verzerrungsmaßes sind [a][b]. Die Idee wurde von Rodney Hill in [c] weiterentwickelt.
    [a] B. R. Seth: Generalized strain measure with applications to physical problems. MRC Technical Summary Report #248 des Mathematics Research Center, United States Army, University of Wisconsin, 1961, S. 1–18, AD0266913.pdf
    [b] B. R. Seth: Generalized strain measure with applications to physical problems. IUTAM Symposium on Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Mechanics, Haifa 1962.
    [c] R. Hill: On constitutive inequalities for simple materials-I. In: Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 16, Nr. 4, 1968, S. 229–242.
  3. a b A. Bertram: Elasticity and Plasticity of Large Deformations: An Introduction. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24614-2.
  4. a b c Haupt (2000)