Verzerrungstensor

Verzerrungstensoren beschreiben das Verhältnis von Momentankonfiguration zur Ausgangskonfiguration bei der Deformation von kontinuierlichen Körpern und damit Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente. Diese Änderung (=Deformation) der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Gestalt des Festkörpers und werden damit beispielsweise als Dehnung, Stauchung, Scherung usw. sichtbar.

In der Literatur ist eine Vielzahl solcher Definitionen bekannt, die aus dem Deformationsgradienten gebildet werden.

Zunächst lassen sich damit der rechte Cauchy-Green Tensor

$\bold{C} = \bold{F^{\rm T} \cdot F}$

bzgl. der Ausgangskonfiguration und der linke Cauchy-Green Tensor

$\bold{b} = \bold{F \cdot F^{\rm T}}$

bzgl. der Momentankonfiguration bilden.

Damit sind diese beiden Tensoren zwangsweise symmetrisch und im Fall einer Nicht-Deformation gleich der Identität - als Matrix ausgedrückt also die Einheitsmatrix bzgl. des jeweiligen Basissystems.

Für ingenieurtechnische Anwendungen wünscht man gewöhnlich allerdings Größen, die bei Nicht-Deformation eine Null darstellen. Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrangen Verzerrungstensors

$\bold{E} = \frac{1}{2}(\bold{F^{\rm T}\cdot F-I})$

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

$\bold{e} = \frac{1}{2}(\bold{I-(F \cdot F^{\rm T})^{-1}})$.

Daneben existieren aber noch eine Vielzahl weiterer ähnlicher Definitionen, die jeweils ihre Berechtigung und Vorteils in verschiedenen Theorien besitzen.

Die Linearisierung dieser Größen $\bold{E}$ oder $\bold{e}$ führt auf die in der technischen Mechanik üblicherweise benutzte Größe ε zur Beschreibung kleiner Verzerrungen.

Literatur

• J. Altenbach/H.Altenbach: Einführung in die Kontinuumsmechanik Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-03096-9, S. 38
• G. Holzapfel: "Nonlinear Solid Mechanics", Wiley, ISBN 978-0-471-82319-3