Viererimpuls

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Als Viererimpuls eines Teilchens oder Systems bezeichnet man in der relativistischen Physik zusammenfassend seine Energie und Impuls in Form eines Vierervektors, d.h. eines Vektors mit vier Komponenten. Der Viererimpuls ist eine Erhaltungsgröße, d. h. er bleibt konstant, solange das Teilchen oder System keine Einwirkungen von außen erfährt.

Energie-Impuls-Relation [Bearbeiten]

In Maßeinheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit den dimensionslosen Wert c = 1 hat, hängen die Energie E und der Impuls \boldsymbol p eines Teilchens der Masse m mit seiner Geschwindigkeit \boldsymbol v zusammen durch:

 
\begin{pmatrix}
E\\ \boldsymbol p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{m}{\sqrt{1-\boldsymbol v^2}}\\\frac{m\,\boldsymbol v}{\sqrt{1-\boldsymbol v^2}}
\end{pmatrix}

Das Längenquadrat des Viererimpulses ist - unabhängig von der Geschwindigkeit - immer gleich dem Quadrat der Masse:

\Rightarrow \begin{pmatrix} E\\ \boldsymbol p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} E\\ \boldsymbol p \end{pmatrix} = E^2 - \boldsymbol p^2 = m^2

Dieser Zusammenhang wird Energie-Impuls-Relation oder Energie-Impuls-Beziehung genannt. Das Längenquadrat des Viererimpulses ist damit - wie jeder Skalar bzw. jedes Skalarprodukt von Vierervektoren - invariant unter Lorentztransformation. Andere Erhaltungsgrößen wie der Drehimpuls und der anfängliche Energieschwerpunkt transformieren dagegen unter einer sechsdimensionalen Darstellung L(\Lambda) der Lorentztransformationen.

Herleitung der Geschwindigkeitsabhängigkeit von Energie und Impuls[Bearbeiten]

Wie die Energie und der Impuls eines Teilchens der Masse m von seiner Geschwindigkeit \mathbf v \, (|\mathbf v|<c) abhängen, ergibt sich in der Relativitätstheorie daraus, dass Energie und Impuls für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind. Wir bezeichnen sie zusammenfassend mit p. Wenn einem Teilchen eine additive Erhaltungsgröße p_1 zukommt und einem anderen Teilchen die Erhaltungsgröße p_2, dann kommt dem System beider Teilchen die Erhaltungsgröße p = p_1 + p_2 zu.

Auch ein bewegter Beobachter stellt bei beiden Teilchen Erhaltungsgrößen p^\prime_1 und p^\prime_2 fest, allerdings haben sie nicht unbedingt dieselben, sondern transformierte Werte. Es muss aber gelten, dass die Summe dieser Werte das Transformierte der Summe ist:

p_1^\prime + p_2^\prime = (p_1 + p_2)^\prime

Ebenso kommt (für alle Zahlen a) einem vervielfachten System mit Erhaltungsgröße a \, p für den bewegten Beobachter die vervielfachte Erhaltungsgröße

(a \, p)^\prime = a \, p^\prime

zu. Das besagt mathematisch, dass die Erhaltungsgrößen, die ein bewegter Beobachter misst, durch eine lineare Transformation L

p^\prime = L p

mit den Erhaltungsgrößen des ruhenden Beobachters zusammenhängen.

Die lineare Transformation ist dadurch eingeschränkt, dass solch eine Gleichung für jedes Paar von Beobachtern gelten muss, wobei die Bezugssysteme der Beobachter durch Lorentztransformationen \Lambda und Verschiebungen auseinander hervorgehen. Hängen die Bezugssysteme vom ersten und zweiten Beobachter durch \Lambda_1 und vom zweiten zu einem dritten durch \Lambda_2 zusammen, dann hängt das Bezugssystem vom ersten mit dem dritten durch \Lambda_2\circ\Lambda_1 zusammen. Genauso müssen die zugehörigen Transformationen der Erhaltungsgrößen

L(\Lambda_2) \circ L(\Lambda_1) = L(\Lambda_2 \circ \Lambda_1)

erfüllen.

Im einfachsten Fall ist L(\Lambda) = \Lambda. Da Lorentztransformationen 4 \times 4-Matrizen sind, betrifft also das einfachste, nichttriviale Transformationsgesetz, bei dem nicht einfach p^\prime = p gilt, vier Erhaltungsgrößen p, die wie die Raumzeitkoordinaten als Vierervektor transformieren:

p^\prime = \Lambda p

Im Vorgriff auf das Ergebnis unserer Betrachtung nennen wir diesen Vierervektor den Viererimpuls.

Insbesondere ändert sich ein ruhendes Teilchen nicht bei Drehungen. Daher ändern sich auch nicht diejenigen Komponenten seines Viererimpulses p, die wie ein dreidimensionaler Ortsvektor bei Drehungen in einen gedrehten Vektor übergehen. Der einzige solche Vektor ist aber der Nullvektor. Also hat der Viererimpuls p eines ruhenden Teilchen einen Wert


p_{\text{Ruhe}} = \begin{pmatrix}
m \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}

Die Bezeichnung m ist im Vorgriff auf das spätere Ergebnis gewählt, steht hier aber zunächst für irgendeinen Wert.

Für einen entlang der x-Achse bewegten Beobachter hat das Teilchen eine Geschwindigkeit v und einen Lorentztransformierten Viererimpuls (wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen mit c = 1):


\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} &  &\\
\frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} &  &\\
& & 1 &\\
& & & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \\\frac{m\,v}{\sqrt{1-v^2}}  \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}

Entwickelt man die vier Erhaltungsgrößen nach der Geschwindigkeit:


\begin{pmatrix}
\frac{m}{\sqrt{1 -v^2}} \\\frac{m \, v}{\sqrt{1 - v^2}} \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
m + \frac{1}{2}  \,m v^2 + \dots\\ m \, v + \dots \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}

und vergleicht man mit Newtons Mechanik, so enthüllt sich die physikalische Bedeutung der Komponenten des Viererimpulses: die erste Komponente ist die Energie und die drei Komponenten, die sich bei Drehungen wie ein Ortsvektor ändern, sind der Impuls:

p = \begin{pmatrix}
\text{Energie}\\ \text{Impuls}
\end{pmatrix}

So wie in Newtons Mechanik nennt man den geschwindigkeitsunabhängigen Parameter m in der Relation, die den Impuls eines Teilchens als Funktion seiner Geschwindigkeit angibt, die Masse. Sie muss allen Beobachtungen nach positiv sein.

Betrachtung in SI-Einheiten[Bearbeiten]

Wenn wir den konventionellen Faktor c einfügen, ist die Energie:

E(\boldsymbol{v}) = \frac{m \, c^2}{\sqrt{1 - \frac{\boldsymbol v^2}{c^2}}} = \gamma(v) \cdot m \, {c^2}

mit dem Lorentzfaktor \gamma \geq 1.

Sie ist nach unten beschränkt durch die Ruheenergie:

E(\boldsymbol{v}) \geq E_{\text{Ruhe}} = E(\boldsymbol{v} = 0) = m \, c^2

Der Impuls ist:

\boldsymbol{p}(\boldsymbol{v}) = \frac{m \, \boldsymbol v}{\sqrt{1 - \frac{\boldsymbol v^2}{c^2}}} = \gamma(v) \cdot m \boldsymbol{v}

Die relative-Energie-Impuls-Beziehung kann aus dem Quadrat der Energie abgeleitet werden:

\begin{align}
E^2 & =                                                                   \gamma^2           \cdot (m c^2)^2\\
    & =             (1 - \boldsymbol \beta^2 + \boldsymbol \beta^2) \cdot \gamma^2           \cdot (m c^2)^2\\
    & = \underbrace{(1 - \boldsymbol \beta^2)                       \cdot \gamma^2}_{= \, 1} \cdot (m c^2)^2 + \gamma^2 \cdot m^2 \cdot \underbrace{\boldsymbol \beta^2 c^4}_{= \, \boldsymbol v^2 c^2}\\
    & = (m c^2)^2 + \boldsymbol p^2 c^2
\end{align}

mit der Zuordnung

\boldsymbol \beta = \boldsymbol v/c.

Spaltet man die Masse vom Viererimpuls ab, so verbleibt die Vierergeschwindigkeit u:

\boldsymbol p = m \, \boldsymbol u

Sie ist die Ableitung der Weltlinie \tilde \boldsymbol x(\tau) = (c t(\tau), x(\tau), y(\tau), z(\tau)), die das Teilchen durchläuft, nach seiner Eigenzeit \tau:[1]

\boldsymbol u = \frac{\mathrm d \tilde \boldsymbol x}{\mathrm d \tau} = \begin{pmatrix}
\frac{c}            {\sqrt{1 - \frac{\boldsymbol v^2}{c^2}}}\\ 
\frac{\boldsymbol v}{\sqrt{1 - \frac{\boldsymbol v^2}{c^2}}}
\end{pmatrix}

d.h. die Vierergeschwindigkeit ist der normierte Tangentialvektor an die Weltlinie:

(u^0)^2 - \boldsymbol u^2 = c^2

Das Differential \mathrm d\tau der Eigenzeit ist - im Gegensatz zu \mathrm dt - eine skalare Größe und ergibt den Nenner \sqrt{1 - {\boldsymbol v^2/c^2}}.

Anwendung: Bewegungsgleichung und der Kraft/Leistung-Vierervektor[Bearbeiten]

Im mitbewegten System ist \boldsymbol v = 0 und bleibt Null, solange keine Kraft einwirkt. Falls jedoch während einer Zeit \delta\tau eine Kraft \boldsymbol K ausgeübt und gleichzeitig eine externe Leistung L zugeführt wird, erhöhen sich sowohl die Geschwindigkeit als auch die Energie des Teilchens (im selben Bezugssystem wie zuvor!). Durch den Kraftstoß und die Leistungszufuhr gilt dann als Bewegungsgleichung:

\delta \, \boldsymbol p = \delta (m \, \boldsymbol u)  = \begin{pmatrix}\frac{L}{c}\\ \boldsymbol K \end{pmatrix} \,\, \delta \tau

Die rechte Seite dieser Gleichung definiert den Kraft-Leistung-Vierervektor. Es wird also u.a. die Ruheenergie des Systems erhöht von mc2 auf mc2 + L δτ (d.h. die Masse wird leicht erhöht; vgl. Äquivalenz von Masse und Energie). Gleichzeitig wird durch den Kraftstoß die Geschwindigkeit - und somit die kinetische Energie - erhöht. Dabei wird vorausgesetzt, dass die von Null ausgehende Geschwindigkeit nach der Erhöhung immer noch klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit bleibt, sodass im mitbewegten System die Newtonsche Physik gültig ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siehe z. B. Band 2 der Lehrbuchreihe von Landau/Lifschitz, Harri Deutsch V., Frankfurt/Main