Vierervektor

Ein Vierervektor, ein Begriff der Relativitätstheorie, ist ein Vektor in einem reellen, vierdimensionalen Raum mit einem indefiniten Längenquadrat. In zwei gegeneinander bewegten Inertialsystemen hängen die Komponenten des Vierervektors durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen. Beispielsweise sind die Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit die Komponenten eines Vierervektors, ebenso sind die Energie und der Impuls eines Teilchens die Komponenten eines Vierervektors.

Schreibweise

Man verwendet die Abkürzungen $a^\mu=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ für die kontravariante und $a_\mu=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=(a^0,-a^1,-a^2,-a^3)$ für die kovariante Darstellung eines Vierervektors. Es werden meist griechische Indizes verwendet, wenn diese die Werte 0,1,2,3 durchlaufen. Dabei werden die Buchstaben $\mu,\nu$ in der Relativitätstheorie bevorzugt geschrieben.

Ortsvektor

Der Ortsvektor oder Orts-Vierervektor eines Teilchens beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate $t$ als auch die Raumkoordinaten $\mathbf x=(x,y,z)$ eines Ereignisses. Die Zeitkoordinate wird in der Relativitätstheorie mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ multipliziert, so dass sie wie die Raumkoordinaten die Dimension einer Länge hat.

Die kontravariante Darstellung des Orts-Vierervektors ist

$x^\mu=(ct,x,y,z)=(ct,\mathbf x)$.

Dass $x^\mu$ ein Vierervektor ist, folgt daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer orthonormalen Basis des Minkowski-Raums ist und sich dementsprechend kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation bei Basiswechsel ändert.

Die Metrik der flachen Raumzeit ist

$\mathrm d s^2= c^2 \mathrm d t^2-\mathrm d x^2-\mathrm d y^2-\mathrm d z^2$.

Die Raumkoordinaten und die Zeitkoordinate haben in der Relativitätstheorie stets verschiedene Vorzeichen. Bei besonderen Prozessen, wie etwa dem Eintritt in ein schwarzes Loch, wechseln die Vorzeichen in der Metrik, die das schwarze Loch beschreibt (z.B. die Schwarzschildmetrik). Dies bedeutet nichts anderes, als dass Raum und Zeit ihre Bedeutung vertauschen.

Abgeleitete Vierervektoren

Aus dem Orts-Vierervektor lassen sich weitere Vierervektoren ableiten und definieren.

Vierergeschwindigkeit

Der Vierervektor der Geschwindigkeit $(v^\mu)$ ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors $(x^\mu)$ nach der Eigenzeit $d\tau$.

Die Eigenzeit $\tau$ ist über die Zeitdilatation definiert als

$\mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \mathrm d t$,

wobei $\gamma$ der Lorentzfaktor ist. Daraus ergibt sich die Vierergeschwindigkeit zu

$\frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau} =\gamma \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(ct,x,y,z)=\gamma(c,\dot x,\dot y,\dot z)=\gamma(c,\mathbf v)$.

Interpretation

Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu

$|(v\,^\mu)| = \sqrt{v^\mu v^\nu\eta_{\mu\nu}} = \sqrt{v_\mu v^\mu}= \sqrt{\gamma^2 (c^2-v^2)} = c$ .

Anders ausgedrückt bewegt sich jeder Gegenstand stets mit Lichtgeschwindigkeit durch die vier Dimensionen der Raumzeit. Dieses Ergebnis erklärt die Zeitdilatation folgendermaßen: Befindet sich ein Gegenstand von einem Bezugssystem aus betrachtet in Ruhe, so bewegt er sich mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Zeitdimension. Wird dieser Gegenstand hingegen im Raum beschleunigt, so muss seine Bewegung in Richtung der Zeit abbremsen (Zeitfluss verlangsamt sich), damit die Norm der Vierergeschwindigkeit konstant bleibt. Da sich aber der Zeitfluss verlangsamt, erscheint die Geschwindigkeit im Vierervektor erhöht.

Photonen und andere, masselose Teilchen bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum und ruhen dafür in der Zeit (Vierergeschwindigkeit nicht definiert). Würde sich ein Gegenstand überlichtschnell durch den Raum bewegen, so müsste er in der Zeit eine imaginäre Geschwindigkeit besitzen, um den Überschuss „auszugleichen“.

Viererimpuls

Der Viererimpuls wird analog zum klassischen Impuls definiert

$p^\mu=m_0 v^\mu= (\gamma m_0 c, \gamma m_0 \mathbf v),$

wobei $m_0$ die Ruhemasse des Körpers ist. Mit der Äquivalenz von Masse und Energie $E = \gamma m_0 c^2$ kann der Viererimpuls als

$p^\mu=\left(E/c, \mathbf p\right)$

geschrieben werden. Hierbei ist $\mathbf p=\gamma m_0\mathbf v$ der relativistische Impuls, der sich vom klassischen Impulsvektor um einen Faktor $\gamma$ unterscheidet. Da der Viererimpuls die Energie und den räumlichen Impuls vereinigt, wird er auch als Energie-Impuls-Vektor bezeichnet.

Aus der Quadratur der Viererimpulse $p_\mu p^\mu$ ergibt sich die Energie-Impuls-Beziehung

$E^2-\mathbf p^2\,c^2=m_0^2\,c^4$

aus welcher eine zeit- und ortsunabhängige Hamilton-Funktion für freie, relativistische Teilchen abgeleitet werden kann.

Viererbeschleunigung

Durch nochmaliges Ableiten der Vierergeschwindigkeit $v^\mu = \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau}$ nach $\tau$ erhält man die Viererbeschleunigung.

Die 0-te Komponente der Viererbeschleunigung bestimmt sich zu

$\frac{\mathrm d v^0}{\mathrm d \tau} = c \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau} \gamma = c \ \frac{\mathrm d t}{\mathrm d \tau} \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \gamma = c \gamma \cdot \frac{\gamma^3}{c^2} \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) = \frac{\gamma^4}{c} \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right).$

Die räumlichen Komponenten der Viererbeschleunigung lauten

$\frac{\mathrm d v^j}{\mathrm d \tau} = \frac{\mathrm d t}{\mathrm d \tau} \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\gamma \mathbf v\right) = \gamma \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\gamma \mathbf v\right) = \frac{\gamma^4}{c^2} \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) \cdot \mathbf v + \gamma^2 \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}.$

Insgesamt erhält man für die Viererbeschleunigung das Ergebnis

$\frac{\mathrm d v^\mu}{\mathrm d \tau} = \frac{\gamma^4}{c^2} \ \mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} \ (c, \mathbf v) + \gamma^2 \left(0, \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right).$

Die Viererbeschleunigung besteht aus einem Teil mit Faktor $\frac{\gamma^4}{c^2}$ und einem Teil mit $\gamma^2$. Man erhält also für parallele und lotrechte Beschleunigung unterschiedliche Viererbeschleunigungen. Mit der Graßmann-Identität

$\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) = \mathbf v \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) - \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} \ \left(\mathbf v \cdot \mathbf v\right)$

kann man den Ausdruck für den räumlichen Teil des Vierervektors umformen. Man beobachtet, dass

$\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \left(\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right) = \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} \left[1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}\right] + \frac{1}{c^2} \ \mathbf v \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right) = \frac{1}{\gamma^2} \ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \ \mathbf v \left(\mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)$

ist. Es folgt

$\frac{\mathrm d v^j}{\mathrm d \tau} = \gamma^4 \left(\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \left(\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right).$

und somit insgesamt

$\frac{\mathrm d v^\mu}{\mathrm d t} = \gamma^4 \left(\frac{1}{c} \mathbf v \cdot \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}; \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t} + \frac{1}{c^2} \left(\mathbf v \times \left(\mathbf v \times \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right)$

Viererkraft und Bewegungsgleichung

Wie bereits beim Viererimpuls kann eine Viererkraft, auch Minkowskikraft genannt, analog zur entsprechenden newtonschen Kraft definiert werden.

$K^\mu=\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t}$.

Dies ist die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie. Sie beschreibt beschleunigte Bewegungen in einem Inertialsystem.

Weiter kann die Viererkraft mit der newtonschen Kraft in Beziehung gesetzt werden:

In dem Inertialsystem, in dem die Masse annähernd ruht (sie ruhe zum Zeitpunkt $t = 0$, dann gilt für $t$ genügend klein $v \ll c$, weil die Beschleunigung beschränkt ist), muss die klassische Newtonsche Gleichung gelten:

$\begin{pmatrix} 0 \\ \mathbf F \end{pmatrix} = \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t} = \frac{1}{\gamma}\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} \Rightarrow \mathbf F=\frac{1}{\gamma} K^i,$

wobei $\mathbf{F}$ die Newtonsche Kraft und $K^i = (K^1,K^2,K^3)$ der räumliche Teil der Viererkraft ist.

In einem beliebigen Inertialsystem gilt

$\begin{pmatrix} K^0 \\ K^1 \\ K^2 \\ K^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\ \mathbf F_{\perp \mathbf u} + \gamma \mathbf F_{\| \mathbf u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\ \left ( \mathbf F - \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \right ) + \gamma \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \end{pmatrix}$, wobei $\mathbf u$ der räumliche Anteil der Vierergeschwindigkeit ist.

Das heißt, der Raumanteil der Minkowski-Kraft ist die Newtonsche Kraft, wobei der zur Geschwindigkeit parallele Anteil mit $\gamma$ multipliziert ist. $c K^0$ ist die durch die Beschleunigung mit $K^\mu$ übertragene Leistung.

Ko- und kontravariante Vektoren

Die Komponenten eines kontravarianten Vierervektors $a$ gehen bei Lorentztransformationen $\Lambda$ in

$a^\prime =\Lambda\, a$

über. Man schreibt seine Komponenten $a=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ mit oben stehenden Zahlen.

Unten stehende Indizes $b=(b_0,b_1,b_2,b_3)$ kennzeichnen Komponenten eines kovarianten Vierervektors mit dem kontragredienten (entgegengesetzten) Transformationsgesetz

$b^\prime =\Lambda^{-1\,\text{T}}\,b\,.$

Die beiden Transformationsgesetze sind nicht gleich, aber äquivalent, denn Lorentztransformationen erfüllen definitionsgemäß

$\Lambda^{-1\,\text{T}}=\eta\,\Lambda\,\eta^{-1}\,.$

Daher ergibt $\eta\,a$ die Komponenten des kovarianten Vektors,

$(a_0,a_1,a_2,a_3)=(a^{0},-a^{1},-a^{2},-a^{3})\,,$

der dem kontravarianten Vektor $a=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ zugeordnet ist. $\eta$ ist die übliche Minkowski-Metrik $\, \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ der SRT.

Beispielsweise sind die partiellen Ableitungen einer Funktion $f(x)$ die Komponenten eines kovarianten Vektors. Lorentztransformationen bilden $x$ auf $x^\prime = \Lambda \,x$ ab und definieren die transformierte Funktion $f^\prime$ durch die Forderung $f^\prime(x^\prime)=f(x)$, dass die transformierte Funktion am transformierten Ort denselben Wert habe, wie die ursprüngliche Funktion am ursprünglichen Ort

$f^\prime(x)=f(\Lambda^{-1}\,x)\,,\quad f^\prime = f\circ \Lambda^{-1}\,.$

Die partiellen Ableitungen transformieren wegen der Kettenregel kontragredient,

$\frac{\partial f^\prime}{\partial x^m}(x)= \frac{\partial (\Lambda^{-1}x)^n}{\partial x^m}\, \frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}}= \Lambda^{-1\,n}{}_m\, \frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}}= \Lambda^{-1 \,\text{T}}{}_m{}^n\, \frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}}\,.$

Literatur

• L. D. Landau: Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 2: L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Klassische Feldtheorie. 12. überarbeitete Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1997, ISBN 3-8171-1327-7
• Torsten Fliessbach: Allgemeine Relativitätstheorie. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14331-2 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie).
• Walter Greiner: Theoretische Physik. Band 3a: Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1989, ISBN 3-8171-1063-4.

Weblinks

• Norbert Dragon Geometrie der Relativitätstheorie (PDF; 2,5 MB)