Zweitor

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Ein Zweitor ist ein Modell für ein elektrisches Bauelement oder ein elektrisches Netzwerk mit vier Anschlüssen, bei dem je zwei Anschlüsse zu einem sogenannten Tor zusammengefasst werden. Ein Tor liegt dann vor, wenn die elektrische Stromstärke durch beide Anschlüsse eines Tors gegengleich ist (Torbedingung). Ein Zweitor ist damit eine spezielle Form eines (allgemeinen) Vierpols. Die Bezeichnung Vierpol stammt aus dem Jahr 1921 von Franz Breisig. Die bei linearen Zweitoren übliche Matrizenschreibweise geht auf Felix Strecker und Richard Feldtkeller aus dem Jahr 1929 zurück.[1]

Ein Zweitor ist andererseits ein Spezialfall eines n-Tores (welches auch als Mehrtor bezeichnet wird).

Allgemeines[Bearbeiten]

Allgemeines Zweitor

Ein Zweitor ist eine spezielle Form eines Vierpols. Bei einem allgemeinen Vierpol muss die Torbedingung nicht gelten, womit die im nachfolgenden dargestellten Zweitorparameter und die mathematische Beschreibung mit Hilfe von Matrizen nur bei linearen Zweitoren und nicht bei allgemeinen Vierpolen anwendbar ist.

Vor allem in älterer Fachliteratur werden die Begriffe Zweitor und Vierpol synonym verwendet, wenngleich dabei unter dem Begriff Vierpol implizit Zweitore verstanden werden. Oft werden die Tore eines Zweitors auch als Eingang und als Ausgang bezeichnet.

Das Klemmenverhalten eines linearen Zweitors wird durch seine Übertragungsfunktion oder seinen Frequenzgang beschrieben. Hieraus lassen sich Zweitorgleichungen gewinnen, aus denen Zweitorparameter zur Modellbildung gewonnen werden können.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Zweitore lassen sich anhand der Eigenschaften ihres Klemmenverhaltens, d. h. als Blackbox ohne genaue Kenntnis ihrer inneren Struktur, wie folgt, klassifizieren:

Linearität[Bearbeiten]

Die Übertragungsfaktoren von linearen Zweitoren sind unabhängig von Spannung und Strom. Deshalb gilt für die Torströme und -spannungen der Überlagerungssatz. Ein Zweitor, das nur aus den passiven linearen Bauelementen Widerstand, Spule, Kondensator und Übertrager besteht (ein sogenanntes RLCM-Zweitor), ist immer selbst linear.

Nichtlineare Zweitore sind Netzwerke mit mindestens einem nichtlinearen Bauelement und diese Bauelemente selbst, etwa Dioden oder Transistoren. Ihr Übertragungsverhalten hängt wesentlich von der Größe der Torströme und -spannungen ab. Eine annähernd lineare Beschreibung ist mittels der Kleinsignaltheorie bei stetigen Kennlinien und für kleine Amplituden möglich.

Nur lineare Zweitore sind Gegenstand der klassischen Vierpol- und der modernen Mehrtortheorie. Nur für sie gelten die linearen Zweitorgleichungen und damit die im Folgenden beschriebene Matrizendarstellung der Zweitorparameter.

Leistungsbilanz[Bearbeiten]

Enthält ein Zweitor keine inneren ungesteuerten oder gesteuerten Energiequellen, so nennt man es passiv (z. B. Dämpfungsglied), anderenfalls aktiv. Daraus ergibt sich, dass die Ausgangswirkleistung P2 kleiner als die Eingangswirkleistung P1 sein muss. Aktive Vierpole, etwa Verstärker, entnehmen Energie aus Hilfsenergiequellen (Stromquelle).

Geht in einem (passiven) Zweitor keine Energie verloren, weil es nur Blindschaltelemente enthält, so nennt man es Reaktanzzweitor.

Umkehrbarkeit[Bearbeiten]

Umkehrbare Zweitore (auch reziprok, kopplungssymmetrisch oder übertragungssymmetrisch) haben in beide Richtungen dasselbe Übertragungsverhalten, d. h. dass sich das Verhältnis von Eingangsstrom und Ausgangsspannung bei kurzgeschlossenem Eingang beim Vertauschen von Eingangs- und Ausgangsklemmenpaar nicht ändert. Diese Eigenschaft wird auch als Reziprozitätstheorem oder als Kirchhoffscher Umkehrungssatz bezeichnet. Somit erzeugt eine an Tor 1 angelegte Spannung U_{1} an Tor 2 einen Strom I_{2}. Wird dieselbe Spannung an Tor 2 mit U_{1} = U_{2} angelegt, wird derselbe Strom I_{2} an Tor 1 erzeugt. Daraus ergibt sich I_{2} = I_{1} wenn U_{1} = U_{2} ist.

Reziproke Zweitore sind durch drei Zweitorparameter vollständig charakterisiert, denn für die Elemente der Zweitorgleichungen gelten dann folgende Einschränkungen:

\begin{align} Z_{12} &= Z_{21} \\
Y_{12} &= Y_{21} \\
H_{12} &= -H_{21} \\
P_{12} &= -P_{21} \\
\det \mathbf{A} &= 1 \\
\det \mathbf{B} &= 1 \end{align}

Umkehrbarkeit ist nur für lineare Zweitore definiert. Ein Zweitor, das nur aus den passiven linearen Bauelementen Widerstand, Spule, Kondensator und Übertrager besteht (RLCM-Zweitor), ist immer umkehrbar.

Symmetrie[Bearbeiten]

Bei symmetrischen Zweitoren (auch als widerstandssymmetrisch bezeichnet) sind Ein- und Ausgänge miteinander vertauschbar. Dies kann oft aus der Schaltung abgelesen werden. Wenn dies auf ein Zweitor nicht zutrifft, so wird dieses als unsymmetrisch bezeichnet.

Dabei gilt folgendes für die Elemente der Zweitorgleichungen:

\begin{align} Z_{11} = Z_{22}&, Z_{12} = Z_{21} \\
Y_{11} = Y_{22}&, Y_{12} = Y_{21} \\
\det \mathbf{H} = 1&, H_{12} = -H_{21} \\
\det \mathbf{P} = 1&, P_{12} = -P_{21} \\
A_{11} = A_{22}&, \det \mathbf{A} = 1 \\
B_{11} = B_{22}&, \det \mathbf{B} = 1\end{align}

Symmetrische Zweitore sind somit durch zwei Zweitorparameter vollständig charakterisiert. Symmetrische Zweitore sind immer reziprok, jedoch sind reziproke Zweitore nicht immer symmetrisch.

Erdungssymmetrie[Bearbeiten]

Bei erdungssymmetrischen oder quersymmetrischen Zweitoren kann in Längsrichtung eine Symmetrielinie eingezeichnet werden. Das bedeutet, dass keine durchgehende Erdleitung vorhanden ist. Ein typisches Beispiel ist die sogenannte X-Schaltung eines Vierpols. Die in der Praxis als Zweitor verwendeten Dreipole haben dagegen eine durchgehende Erdleitung und sind deshalb erdungsunsymmetrisch. Die Eigenschaft der Erdungssymmetrie hat keinen Einfluss auf die Zweitorparameter. Theoretisch kann man mit Hilfe von idealen Übertragern erdungssymmetrische Zweitore in erdungsunsymmetrische und umgekehrt verwandeln.

Rückwirkungsfreiheit[Bearbeiten]

Hat eine sich (durch Belastung) verändernde Ausgangsgröße keinen Einfluss auf eine Eingangsgröße, so nennt man das Zweitor rückwirkungsfrei. Rückwirkungsfreie Zweitore sind ein „Extremfall“ nichtumkehrbarer Zweitore.

Für die Parameter eines rückwirkungsfreien Zweitors gelten folgende Einschränkungen:

\begin{align} Z_{12} &= 0 \\
Y_{12} &= 0 \\
H_{12} &= 0 \\
P_{12} &= 0 \\
\det \mathbf{A} &= 0 \\
\mathbf{B} & \text{ ist nicht definiert}
\end{align}

Damit sind die Eingangsgrößen U_1, I_1 von den Ausgangsgrößen U_2, I_2 unabhängig.

Zweitorgleichungen und Parameter[Bearbeiten]

Schaltung zur Impedanzmatrix

Bezeichnen U1 die Spannung und I1 den Strom am Eingangsklemmenpaar und U2 und I2 die entsprechenden Größen am Ausgangsklemmenpaar, dann können jeweils zwei gesuchte Größen aus den beiden anderen gegebenen Größen durch ein Paar von Zweitorgleichungen berechnet werden. Diese sind im Allgemeinen nichtlineare Differentialgleichungen.

Für lineare Zweitore gehen sie, eventuell unter Anwendung der symbolischen Methode der Wechselstromrechnung oder der Laplacetransformation, in ein Paar lineare Gleichungen mit vier das Zweitor beschreibenden Zweitorparametern über.

Unter der Voraussetzung der Existenz lassen sich diese Zweitorgleichungen in Form von Matrixgleichungen angeben. Eingeprägte Ströme und Spannungen werden je nach Bedarf zu diesen Gleichungen als Matrizen hinzu addiert. Die angegebenen Berechnungsvorschriften dienen zur Bestimmung der Matrizen für ein beliebiges, bekanntes Zweitor, wie zum Beispiel ein Feedback-Netzwerk einer Verstärkerschaltung.

Z-Charakteristik \begin{bmatrix}U_1 \\ U_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} = \left.\frac{U_1}{I_1}\right|_{I_2=0} & Z_{12} = \left.\frac{U_1}{I_2}\right|_{I_1=0} \\ Z_{21} = \left.\frac{U_2}{I_1}\right|_{I_2=0} & Z_{22} = \left.\frac{U_2}{I_2}\right|_{I_1=0}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}I_1 \\ I_2\end{bmatrix} \mathbf{Z}: Impedanzmatrix, existent, falls die Torströme (I1 bzw. I2) unabhängig wählbar sind.

Z_{11}:Eingangs-Leerlaufimpedanz
Z_{12}: Leerlauf-Kernimpedanz rückwärts
Z_{21}: Leerlauf-Kernimpedanz vorwärts
Z_{22}: Ausgangs-Leerlaufimpedanz

Y-Charakteristik \begin{bmatrix}I_1 \\ I_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} = \left.\frac{I_1}{U_1}\right|_{U_2=0} & Y_{12} = \left.\frac{I_1}{U_2}\right|_{U_1=0} \\ Y_{21} = \left.\frac{I_2}{U_1}\right|_{U_2=0} & Y_{22} = \left.\frac{I_2}{U_2}\right|_{U_1=0} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}U_1 \\ U_2\end{bmatrix} \mathbf{Y}: Admittanzmatrix, existent, falls die Torspannungen (U1 bzw. U2) unabhängig wählbar sind.

Y_{11}: Eingangs-Kurzschlußadmittanz
Y_{12}: Kurzschluß-Kernadmittanz rückwärts (Rückwirkungsleitwert)
Y_{21}: Kurzschluß-Kernadmittanz vorwärts (Steilheit)
Y_{22}: Ausgangs-Kurzschlußadmittanz

H-Charakteristik \begin{bmatrix}U_1 \\ I_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}H_{11} = \left.\frac{U_1}{I_1}\right|_{U_2=0} & H_{12} = \left.\frac{U_1}{U_2}\right|_{I_1=0} \\ H_{21} = \left.\frac{I_2}{I_1}\right|_{U_2=0} & H_{22} = \left.\frac{I_2}{U_2}\right|_{I_1=0} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}I_1 \\ U_2\end{bmatrix} \mathbf{H}: Hybridmatrix (Reihen-Parallel-Matrix), existent falls I1 bzw. U2 unabhängig wählbar sind.

H_{11}: Kurzschluß-Eingangsimpedanz
H_{12}: Leerlauf-Spannungsrückwirkung
H_{21}: Kurzschluß-Stromverstärkung
H_{22}: Leerlauf-Ausgangsadmittanz

P-Charakteristik \begin{bmatrix}I_1 \\ U_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11} = \left.\frac{I_1}{U_1}\right|_{I_2=0} & P_{12} = \left.\frac{I_1}{I_2}\right|_{U_1=0} \\ P_{21} = \left.\frac{U_2}{U_1}\right|_{I_2=0} & P_{22} = \left.\frac{U_2}{I_2}\right|_{U_1=0} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}U_1 \\ I_2\end{bmatrix} \mathbf{P}: inverse Hybridmatrix, (Parallel-Reihen-Matrix), existent falls U1 bzw. I2 unabhängig wählbar sind.
A-Charakteristik \begin{bmatrix}U_1 \\ I_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{11} = \left.\frac{U_1}{U_2}\right|_{I_2=0} & A_{12} = \left.\frac{-U_1}{I_2}\right|_{U_2=0} \\ A_{21} = \left.\frac{I_1}{U_2}\right|_{I_2=0} & A_{22} = \left.\frac{-I_1}{I_2}\right|_{U_2=0} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}U_2 \\ -I_2\end{bmatrix} \mathbf{A}: Kettenmatrix

A_{11}: Reziproke Spannungsübersetzung
A_{12}: Negative, reziproke Steilheit
A_{21}: Reziproker Kernimpedanz vorwärts
A_{22}: Reziproke Kurzschluß-Stromübersetzung

B-Charakteristik \begin{bmatrix}U_2 \\ I_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}B_{11} = \left.\frac{U_2}{U_1}\right|_{I_1=0} & B_{12} = \left.\frac{-U_2}{I_1}\right|_{U_1=0} \\ B_{21} = \left.\frac{I_2}{U_1}\right|_{I_1=0} & B_{22} = \left.\frac{-I_2}{I_1}\right|_{U_1=0} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}U_1 \\ -I_1\end{bmatrix} \mathbf{B}: inverse Kettenmatrix

hierbei gilt im Fall der Existenz:

\mathbf{Y}= \mathbf{Z}^{-1}
\mathbf{P}= \mathbf{H}^{-1}
\mathbf{B}= \mathbf{A}^{-1}

Der Vorteil dieser Schreibweisen ist, dass die Parameter (Zxy, etc.) bekannte Bauteilwerte repräsentieren und daher als Zahlenwerte gegeben sind. Nun kann der Zusammenhang zwischen den Eingangs- und Ausgangsströmen, sowie den Eingangs- und Ausgangsspannungen leicht abgelesen werden.

Hinweis: Statt des Symbols \mathbf{P} werden auch \mathbf{H'} oder \mathbf{C} und statt des Symbols \mathbf{B} wird auch \mathbf{A'} verwendet.

Umrechnung der Matrizen[Bearbeiten]

  \mathbf{Z} \mathbf{Y} \mathbf{H} \mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{B}
\mathbf{Z} \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{Y_{22}}{\det \mathbf{Y}} & \dfrac{-Y_{12}}{\det \mathbf{Y}} \\ \dfrac{-Y_{21}}{\det \mathbf{Y}} & \dfrac{Y_{11}}{\det \mathbf{Y}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\det \mathbf{H}}{H_{22}} & \dfrac{H_{12}}{H_{22}} \\ \dfrac{-H_{21}}{H_{22}} & \dfrac{1}{H_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{P_{11}} & \dfrac{-P_{12}}{P_{11}} \\ \dfrac{P_{21}}{P_{11}} & \dfrac{\det \mathbf{P}}{P_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{A_{11}}{A_{21}} & \dfrac{\det \mathbf{A}}{A_{21}} \\ \dfrac{1}{A_{21}} & \dfrac{A_{22}}{A_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{B_{22}}{B_{21}} & \dfrac{1}{B_{21}} \\ \dfrac{\det \mathbf{B}}{B_{21}} & \dfrac{B_{11}}{B_{21}} \end{bmatrix}
\mathbf{Y} \begin{bmatrix} \dfrac{Z_{22}}{\det \mathbf{Z}} & \dfrac{-Z_{12}}{\det \mathbf{Z}} \\ \dfrac{-Z_{21}}{\det \mathbf{Z}} & \dfrac{Z_{11}}{\det \mathbf{Z}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{H_{11}} & \dfrac{-H_{12}}{H_{11}} \\ \dfrac{H_{21}}{H_{11}} & \dfrac{\det \mathbf{H}}{H_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\det \mathbf{P}}{P_{22}} & \dfrac{P_{12}}{P_{22}} \\ \dfrac{-P_{21}}{P_{22}} & \dfrac{1}{P_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{A_{22}}{A_{12}} & \dfrac{-\det \mathbf{A}}{A_{12}} \\ \dfrac{-1}{A_{12}} & \dfrac{A_{11}}{A_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{B_{11}}{B_{12}} & \dfrac{-1}{B_{12}} \\ \dfrac{-\det \mathbf{B}}{B_{12}} & \dfrac{B_{22}}{B_{12}} \end{bmatrix}
\mathbf{H} \begin{bmatrix} \dfrac{\det \mathbf{Z}}{Z_{22}} & \dfrac{Z_{12}}{Z_{22}} \\ \dfrac{-Z_{21}}{Z_{22}} & \dfrac{1}{Z_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{Y_{11}} & \dfrac{-Y_{12}}{Y_{11}} \\ \dfrac{Y_{21}}{Y_{11}} & \dfrac{\det \mathbf{Y}}{Y_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{P_{22}}{\det \mathbf{P}} & \dfrac{-P_{12}}{\det \mathbf{P}} \\ \dfrac{-P_{21}}{\det \mathbf{P}} & \dfrac{P_{11}}{\det \mathbf{P}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{A_{12}}{A_{22}} & \dfrac{\det \mathbf{A}}{A_{22}} \\ \dfrac{-1}{A_{22}} & \dfrac{A_{21}}{A_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{B_{12}}{B_{11}} & \dfrac{1}{B_{11}} \\ \dfrac{-\det \mathbf{B}}{B_{11}} & \dfrac{B_{21}}{B_{11}} \end{bmatrix}
\mathbf{P} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{Z_{11}} & \dfrac{-Z_{12}}{Z_{11}} \\ \dfrac{Z_{21}}{Z_{11}} & \dfrac{\det \mathbf{Z}}{Z_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\det \mathbf{Y}}{Y_{22}} & \dfrac{Y_{12}}{Y_{22}} \\ \dfrac{-Y_{21}}{Y_{22}} & \dfrac{1}{Y_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{H_{22}}{\det \mathbf{H}} & \dfrac{-H_{12}}{\det \mathbf{H}} \\ \dfrac{-H_{21}}{\det \mathbf{H}} & \dfrac{H_{11}}{\det \mathbf{H}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{A_{21}}{A_{11}} & \dfrac{-\det \mathbf{A}}{A_{11}} \\ \dfrac{1}{A_{11}} & \dfrac{A_{12}}{A_{11}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{B_{21}}{B_{22}} & \dfrac{-1}{B_{22}} \\ \dfrac{\det \mathbf{B}}{B_{22}} & \dfrac{B_{12}}{B_{22}} \end{bmatrix}
\mathbf{A} \begin{bmatrix} \dfrac{Z_{11}}{Z_{21}} & \dfrac{\det \mathbf{Z}}{Z_{21}} \\ \dfrac{1}{Z_{21}} & \dfrac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \dfrac{-1}{Y_{21}} \\ \dfrac{-\det \mathbf{Y}}{Y_{21}} & \dfrac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{-\det \mathbf{H}}{H_{21}} & \dfrac{-H_{11}}{H_{21}} \\ \dfrac{-H_{22}}{H_{21}} & \dfrac{-1}{H_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{P_{21}} & \dfrac{P_{22}}{P_{21}} \\ \dfrac{P_{11}}{P_{21}} & \dfrac{\det \mathbf{P}}{P_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{B_{22}}{\det \mathbf{B}} & \dfrac{-B_{12}}{\det \mathbf{B}} \\ \dfrac{-B_{21}}{\det \mathbf{B}} & \dfrac{B_{11}}{\det \mathbf{B}} \end{bmatrix}
\mathbf{B} \begin{bmatrix} \dfrac{Z_{22}}{Z_{12}} & \dfrac{\det \mathbf{Z}}{Z_{12}} \\ \dfrac{1}{Z_{12}} & \dfrac{Z_{11}}{Z_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{-Y_{11}}{Y_{12}} & \dfrac{-1}{Y_{12}} \\ \dfrac{-\det \mathbf{Y}}{Y_{12}} & \dfrac{-Y_{22}}{Y_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{1}{H_{12}} & \dfrac{H_{11}}{H_{12}} \\ \dfrac{H_{22}}{H_{12}} & \dfrac{\det \mathbf{H}}{H_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{-\det \mathbf{P}}{P_{12}} & \dfrac{-P_{22}}{P_{12}} \\ \dfrac{-P_{11}}{P_{12}} & \dfrac{-1}{P_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{A_{22}}{\det \mathbf{A}} & \dfrac{-A_{12}}{\det \mathbf{A}} \\ \dfrac{-A_{21}}{\det \mathbf{A}} & \dfrac{A_{11}}{\det \mathbf{A}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}

Elementar-Zweitore[Bearbeiten]

Elementar-Längszweitor[Bearbeiten]

Das Elementar-Längszweitor enthält lediglich eine Impedanz in der oberen Längsachse zwischen den Ursprungspolen des Zweitors. Es gibt keine Verbindung zwischen den Polen in der Querachse.

\begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & Z_{l} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Elementar-Querzweitor[Bearbeiten]

Das Elementar-Querzweitor enthält lediglich eine Impedanz in der Querachse des Zweitors und enthält keine Bauelemente in der Längsachse.

\begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ Y_{q} & 1 \end{bmatrix}

Γ-Zweitor[Bearbeiten]

Das Γ-Zweitor ist eine Synthese aus Elementar-Querzweitor und Elementar-Längszweitor. Es bildet sich aus den Kettenmatrizen der Elementar-Zweitore wie folgt:

\begin{align} \begin{bmatrix}A_{\Gamma}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ Y_{q} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & Z_{l} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 & Z_{l} \\ Y_{q} & (Y_{q}Z_{l}+1) \end{bmatrix} \end{align}

Gespiegeltes Γ-Zweitor[Bearbeiten]

Das gespiegelte Γ-Zweitor ist eine Synthese aus Elementar-Längszweitor und Elementar-Querzweitor. Es bildet sich aus den Kettenmatrizen der Elementar-Zweitore wie folgt:

\begin{align} \begin{bmatrix}A_{}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1 & Z_{l} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ Y_{q} & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}(Y_{q}Z_{l}+1) & Z_{l} \\ Y_{q} & 1 \end{bmatrix}\end{align}

Ersatzschaltungen[Bearbeiten]

Zur Vereinfachung von Rechnungen können komplexe Zweitore mithilfe entsprechender Zweitorparameter zu vereinfachten Schaltungen zusammengefasst werden. Die Ersatzschaltungen stellen keine Anleitung zur physikalischen Realisierung dar.

T-Ersatzschaltung[Bearbeiten]

T-Ersatzschaltung

Die T-Ersatzschaltung ermöglicht die Darstellung eines beliebigen Zweitors mithilfe der Ersatzimpedanzen. Bei umkehrbaren Zweitoren entfällt die gesteuerte Spannungsquelle. Es kann aus einem Elementar-Längszweitor und einem Γ-Zweitor oder entsprechend aus einem gespiegeltem Γ-Zweitor und einem Elementar-Längszweitor synthetisiert werden. Nachfolgende Zusammensetzung beschreibt letzteres:

\begin{align} \begin{bmatrix}A_{T}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{\Gamma}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{l}\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}(Y_{q}Z_{l1}+1) & Z_{l1} \\ Y_{q} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & Z_{l2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}(Y_{q}Z_{l1}+1) & {Z_{l2}Y_{q}Z_{l1}+Z_{l2}+Z_{l1}} \\ Y_{q} &  {Y_{q}Z_{l2}+1} \end{bmatrix}\end{align}

π-Ersatzschaltung[Bearbeiten]

π-Ersatzschaltung

Die π-Ersatzschaltung ermöglicht die Darstellung eines beliebigen Zweitors mithilfe der Ersatzadmittanzen. Bei umkehrbaren Zweitoren entfällt die gesteuerte Stromquelle. Es kann aus einem Elementar-Querzweitor und einem gespiegeltem Γ-Zweitor oder entsprechend aus einem Elementar-Querzweitor und einem Γ-Zweitor synthetisiert werden. Nachfolgende Zusammensetzung beschreibt letzteres:

\begin{align} \begin{bmatrix}A_{\Pi}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{\Gamma}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{q}\end{bmatrix}&= \begin{bmatrix}1 & Z_{l} \\ Y_{q1} & (Y_{q1}Z_{l}+1) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ Y_{q2} & 1 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix}{1+Z_{l}Y_{q2}} & Z_{l} \\ {Y_{q1}+Y_{q1}Z_{l}Y_{q2}+Y_{q2}} &  {Y_{q1}Z_{l}+1} \end{bmatrix}\end{align}

Zusammenschalten[Bearbeiten]

Zwei Zweitore können unter der Voraussetzung, dass die oben genannte Torbedingung an mindestens einem Tor erfüllt wird, zu einem neuen Zweitor zusammengeschaltet werden. Die Parameter des neu entstandenen Zweitors lassen sich aus den Parametern der beiden verschalteten Zweitore errechnen. Für jede Verschaltungsart gibt es eine Charakteristik, mit der sich die Verschaltung besonders gut berechnen lässt. Es gibt insgesamt fünf verschiedene Möglichkeiten Zweitore zusammenzuschalten:

Beschreibungsart Darstellung Mathematische Beschreibung
Reihenschaltung Reihenschaltung \mathbf{Z_{ges}}=\mathbf{Z_1}+\mathbf{Z_2}
Parallelschaltung Parallelschaltung \mathbf{Y_{ges}}=\mathbf{Y_1}+\mathbf{Y_2}
Hybridschaltung oder
Reihen-Parallelschaltung
Hybridschaltung \mathbf{H_{ges}}=\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2}
inverse Hybridschaltung oder
Parallel-Reihenschaltung
Inverse Hybridschaltung \mathbf{P_{ges}}=\mathbf{P_1}+\mathbf{P_2}
bzw.
\mathbf{H'_{ges}}=\mathbf{H'_1}+\mathbf{H'_2}
bzw.
\mathbf{C_{ges}}=\mathbf{C_1}+\mathbf{C_2}
Kettenschaltung Kettenschaltung \mathbf{A_{ges}}=\mathbf{A_1}\cdot \mathbf{A_2}
oder
\mathbf{B_{ges}}=\mathbf{B_2}\cdot \mathbf{B_1}
bzw.
\mathbf{A'_{ges}}=\mathbf{A'_2}\cdot \mathbf{A'_1}

Weitere Zweitorparameter[Bearbeiten]

Neben der Charakterisierung eines Zweitors durch die oben beschriebenen Zweitorparameter gibt es für besondere Anwendungszwecke auch andere Darstellungsformen. So kann ein lineares Zweitor auch durch sogenannte Streuparameter beschrieben werden. Diese Darstellungsform ist vor allem im Bereich der Hochfrequenztechnik üblich, da dabei die Anschlüsse des Zweitors nicht kurzgeschlossen bzw. leerlaufen müssen, sondern im Regelfall durch ihre Wellenimpedanz abgeschlossen sind.

Zwischen den S-Parametern und den oben erwähnten Y-Parametern der Admittanzmatrix eines Zweitors besteht mit der Wellenimpedanz ZW folgender Zusammenhang:

Y_{11} = \frac{1}{Z_w} \frac{1-S_{11}+S_{22}-\Delta_S}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta_S}
Y_{12} = \frac{1}{Z_w} \frac{-2S_{12}}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta_S}
Y_{21} = \frac{1}{Z_w} \frac{-2S_{21}}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta_S}
Y_{22} = \frac{1}{Z_w} \frac{1+S_{11}-S_{22}-\Delta_S}{1+S_{11}+S_{22}+\Delta_S}

mit der Abkürzung:

\Delta_S ={\det \mathbf{S}} = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}

Symmetrische lineare Zweitore werden für ihre Anwendung in der Theorie der Siebschaltungen (Wellenparametertheorie) durch die sogenannten Wellenparameter beschrieben. Die zwei das Zweitor beschreibenden Parameter sind dabei die Wellenimpedanz und das Wellenübertragungsmaß.

Literatur[Bearbeiten]

  • Lorenz-Peter Schmidt, Gerd Schaller, Siegfried Martius: Grundlagen der Elektrotechnik 3. Netzwerke. Pearson Studium, München 2006, ISBN 3-8273-7107-4.
  • Richard Feldtkeller: Einführung in die Vierpoltheorie der elektrischen Nachrichtentechnik. Hirzel, Stuttgart 1976, ISBN 3-7776-0319-8.
  • Handwörterbuch des elektrischen Fernmeldewesens, Aufsatz zur Vierpoltheorie von Zuhrt / Matthes, 2. Auflage, 3. Band; S. 1837–1868
  • Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1966.
  • Heinrich Schröder: Elektrische Nachrichtentechnik Band I. Verlag für Radio-Foto-Kinotechnik GmbH, Berlin-Borsigwalde 1966.
  • Vorlesung – Netzwerke 3. Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik, Technische Universität Graz (Diese Thematik wird als Mehrtortheorie bezeichnet. Unter diesem Titel sollten daher weitere Quellen auffindbar sein).
  • Vorlesung – Dynamische Netzwerke. Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik, Technische Universität Dresden

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Gerhard Wunsch: Geschichte der Systemtheorie (= Wissenschaftliche Taschenbücher: Texte und Studien. 296). Akademie-Verlag, Leipzig 1985, S. 49, DNB 850752914.