Virialsatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Virialsatz (lateinisch vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen arithmetischen Mittelwert der kinetischen Energie \overline{T} und dem zeitlichen Mittel der potentiellen Energie \overline{ U } eines abgeschlossenen physikalischen Systems.

Der Virialsatz wurde 1870 von Rudolf Clausius in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz aufgestellt. Das Virial ist dabei nach Clausius der Ausdruck

-\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}\ .[1][2][3]

Hierbei bezeichnet \vec{F_i} die auf das i-te Teilchen wirkende Kraft, \vec r_i dessen Ortsvektor und der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z.B. ein Zeit- oder Scharmittel. Der Virialsatz ist ursprünglich von Clausius als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie) und ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, zum Beispiel in Mehrkörperproblemen in der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz und einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem unter anderem das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden. Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa dass im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.

Beispiel mit konservativer Kraft[Bearbeiten]

Der Virialsatz für ein System aus N untereinander nicht wechselwirkenden Teilchen in einem äußeren Potential V lautet:

\overline T = -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}} = \frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\nabla V(r_i) \cdot \vec{r_i}}

wobei T die kinetische Energie der Teilchen ist und der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten \tau \rightarrow \infty bezeichnet.

Das Hauptproblem im weiteren Vorgehen ist die Auswertung des Virials auf der rechten Seite. Betrachten wir daher ein Potential V, das homogen vom Grad k ist, d. h., für \alpha > 0 gilt V(\alpha\,\vec {r_i}) = \alpha^k \cdot V(\vec {r_i}). Mit der Eulerschen Gleichung für homogene Funktionen \nabla V(\vec{r}) \cdot \vec{r} = k V(\vec{r})[4] vereinfacht sich die obige Gleichung zu

\overline{T} = \frac{k}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{V(r_i)} = \frac{k}{2}\,\overline U,

wobei U die potentielle Energie der N Teilchen ist. Mit der Gesamtenergie \overline{E} = \overline{T} + \overline{U} = E folgt:

\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline {U} = \frac{k}{k+2}\,E
\overline{U} = \frac{2}{k+2}\,E

Für den bekanntesten Fall k = -1 (Gravitation, Coulombsche Kraft) ergibt sich z. B.:

\overline{T} = -\frac{1}{2}\,\overline{U} = -E

Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall k = -1 negativ sein muss (da \overline {T} positiv ist).

Für den Fall harmonischer Schwingungen (k = 2) gilt:

\overline{T} = \overline{U}
Untereinander wechselwirkende Teilchen

Die Gleichungen lassen sich auch herleiten, wenn das Potential kein äußeres Potential ist, sondern durch die Wechselwirkung der Teilchen untereinander verursacht wird. Dabei ist \vec {F_i} die Resultierende der auf das i-te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren keine äußeren Kräfte. Wegen \sum_i \vec {F_i}=0 ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren \vec r_i im Virial beliebig. Damit lässt sich das Virial auch für untereinander wechselwirkende Teilchen so vereinfachen, dass man

\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline{U}

erhält, wenn die Kräfte zwischen den Teilchen gerade durch ein homogenes Potential vom Grad k beschrieben werden können.

Sonderfälle der Mittelwertbildung[Bearbeiten]

Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten τ → ∞. In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.

Geschlossene Bahnen[Bearbeiten]

In zwei Sonderfällen von homogenen Potentialen, nämlich für das Potential des harmonischen Oszillators (k=2) und für das Coulombpotential (k=-1), erhält man für finite (d.h nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem geschlossene Bahnen. Dann kann das zeitliche Mittel auch über einen Bahndurchlauf erfolgen.[5]

Vielteilchensystem[Bearbeiten]

Befindet sich ein Vielteilchensystem im thermischen Gleichgewicht, so kann das System als ergodisch betrachtet werden, d. h., das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl N der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme

T = \frac k2\,U

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).

Für das gravitative N-Teilchensystem in der Astrophysik (zum Beispiel als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist zu bemerken, dass die oben angegebene Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben ist. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen. Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang. In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit T_{relax} eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt[6]. Sie beträgt bei der Milchstraße T_{relax} \approx 7 \cdot 10^{13} Jahre (bei einem Alter von  13,6 \cdot 10^9 Jahren) und für typische Kugelsternhaufen 10^{10} Jahre. Innerhalb des Zeitraums T_{relax} erreichen 0,74 Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen. Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt[7], und sie zeigten auch, dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von 42 \cdot T_{relax} sind 90 Prozent der Sterne abgewandert.

Ableitung des Virialsatzes der Mechanik[Bearbeiten]

Hier wird der Darstellung im Lehrbuch von Landau und Lifschitz gefolgt, wo der Virialsatz in Zusammenhang mit dem Skalierungsverhalten mechanischer Größen (mechanische Ähnlichkeit) diskutiert wird. Dabei wird nur ausgenutzt, dass die kinetische Energie T quadratisch in den Geschwindigkeiten \vec v_i ist, und die Impulse werden formal über \vec p_i=\frac{\partial T}{\partial \vec v_i} eingeführt. Dann gilt nach dem Satz von Euler über homogene Funktionen

\sum_i \frac {\partial T}{\partial \vec v_i} \cdot \vec v_i =2 T,

woraus

2 T = \sum_i \vec p_i \cdot \vec v_i = \frac {d}{dt} ( \sum_i \vec p_i \cdot \vec v_i ) - \sum_i \vec r_i  \cdot \frac {d}{dt} \vec p_i = \frac {d G}{dt}  - \sum_i \vec r_i  \vec F_i

folgt, wobei G die Summe der Skalarprodukte aus den Impulsen \vec{p_i} und den Orten \vec{r_i} aller Teilchen ist:

G= \sum_{i=1}^N  \vec{p_i} \cdot \vec{r_i}

Nun bildet man den asymptotischen Grenzwert des zeitlichen Mittelwerts:

\overline {f}=\lim_{\tau \to\infty} \frac {1}{\tau} \int_0^{\tau} f (t) dt

Insbesondere gilt für den zeitlichen Mittelwert der Zeitableitung von G:

\overline {\frac {d}{dt} ( \sum_i \vec p_i \cdot \vec v_i )} = \overline {(\frac {d G}{dt})} = \lim_{\tau \to\infty} \frac {G ( \tau) - G (0)}{\tau}

Hat man es mit einem System zu tun, in dem die Geschwindigkeiten und Orte der Teilchen beschränkt sind (z. B. bei periodischen Bahnen)[4], so folgt

\overline { ( \frac {d G}{dt} ) } = 0

und mit \vec F_i = \frac {d}{dt} \vec p_i = - \frac { \partial U}{\partial \vec r_i} weiter der Virialsatz

2 \overline {T} =\overline {( \sum_i \vec r_i \cdot \frac {\partial U}{\partial \vec r_i} )}= k \overline {U},

wenn man annimmt, dass das Potential U eine homogene Funktion der Ortskoordinaten vom Grad k ist. In dieser Sicht drückt der Satz eine Gleichheit von Mittelwerten von kinetischer und potentieller Energie aus mit Vorfaktoren, die sich aus dem Skalierungsverhalten ergeben: 2 bei der kinetischen Energie, da die Geschwindigkeiten oder Impulse quadratisch eingehen, k beim Potential, da die Ortsvariablen mit Potenz k eingehen.

Eine ähnliche Ableitung findet sich schon bei Clausius und in dem Lehrbuch der klassischen Mechanik von Herbert Goldstein.[2] Goldstein weist auch darauf hin, dass der Virialsatz mit Potentialterm auch dann gilt, wenn zusätzlich zu den Potentialkräften Reibungskräfte vorhanden sind, die proportional zur Geschwindigkeit sind, da diese keinen Beitrag zum Virialsatz liefern. Das gilt aber nur, falls sich ein stationärer Zustand einstellt, also Energie zugeführt wird, sodass die Bewegung nicht vollständig zum Erliegen kommt, denn dann würden alle Zeitmittelwerte verschwinden.

Anwendungsbeispiel: Massenbestimmung astronomischer Haufen[Bearbeiten]

Anwendung findet der Virialsatz beispielsweise in der Astrophysik und der Himmelsmechanik. Dort benutzt man das Newton’sche Gravitationspotential, das homogen vom Grad −1 ist. Dann gilt:

2 T = - U

Der Virialsatz erlaubt es, recht gute Abschätzungen für die Gesamtmassen dynamisch gebundener Systeme wie Sternhaufen, Galaxien oder Galaxienhaufen zu finden. Die Gesamtmasse eines solchen Haufens kann dann vollständig durch Beobachtungsgrößen wie Radialgeschwindigkeiten, Winkelabstände und scheinbare Helligkeiten der Einzelobjekte ausgedrückt werden. Die einzige Voraussetzung für die Anwendung des Virialsatzes ist die Kenntnis des Abstandes des Haufens. Wir wollen das Vorgehen bei einer Massenbestimmung eines solchen Haufens hier skizzieren:

Die kinetische Gesamtenergie eines Stern- oder Galaxienhaufens ist durch

T=\frac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2

gegeben. Aber weder die Einzelmassen mi noch die Geschwindigkeitsbeträge  vi sind Beobachtungsgrößen. Um diese einzuführen müssen die Beiträge der einzelnen Objekte durch geeignete Mittelwerte ausgedrückt werden. die Gesamtmasse M = \sum m_i und geeignete Mittelwerte ausgedrückt werden. Zum Beispiel kann man annehmen, dass die Einzelmassen mi proportional zu den Einzelleuchtkräften li sind und ein leuchtkraftgewichtetes Mittel bilden (durch den Index L angedeutet):

T=\frac{M}{2}\sum_i (\frac{m_i}{M} \cdot v_i^2 ) = \frac{M}{2}\sum_i ( \frac{l_i}{L} \cdot v_i^2 )=\frac{M}{2}\langle  v^2 \rangle_L,

Nimmt man an, dass das System sphärisch symmetrisch ist und sich im Gleichgewicht befindet (man sagt auch es ist virialisiert), dann sind die Geschwindigkeiten über die Raumrichtungen gleichverteilt und es gilt:

\langle  v^2 \rangle=3 \langle v_{R}^2 \rangle

wobei \sqrt{\langle  v^2 \rangle} bzw. \sqrt{\langle  v_R^2 \rangle} die Streuungen (Abweichungen vom Mittelwert) der Geschwindigkeiten sind, das heißt die räumlichen bzw. Radialgeschwindigkeiten relativ zum Schwerpunkt des Haufens[6]. Beispielsweise haben die Galaxien des Coma-Haufens eine Gaußverteilung der Geschwindigkeiten mit einer Streuung v von 1000 km/s. Damit erhält man:

T=\frac{3 M}{2}\langle v_{R}^2 \rangle

Andererseits gilt für die potentielle Gesamtenergie unter der Bedingung der sphärischen Symmetrie

U= - \frac{\alpha G M^2}{ R}

mit

  • der Gravitationskonstanten G,
  • dem Gesamtradius R des Systems
  • und einem Faktor  α, der von der Größenordnung 1 ist und von der radialen Verteilungsfunktion, also der Geometrie des Haufens, abhängt. Für eine (allerdings unrealistische) Gleichverteilung innerhalb des Radius R ist beispielsweise α = 3/5. Im Allgemeinen ist der Faktor aus den beobachteten Winkelabständen der Einzelsysteme zum Haufenzentrum zu bestimmen.

Durch Anwendung des Virialsatzes für die Gravitation erhalten wir die Gesamtmasse des Haufens zu[8][6]

M = \frac{3 R}{\alpha  G}\langle v_{R}^2 \rangle

Die sich aus der Beobachtung ergebende Masse heißt Virialmasse. Da \alpha von der Größenordnung 1 ist sieht man außerdem, dass die mittlere Geschwindigkeit \langle v \rangle etwa der Fluchtgeschwindigkeit entspricht (mit genauer Übereinstimmung für \alpha =2).

Obwohl diese Methode der Massenbestimmung mit Unsicherheiten behaftet ist, wurde mit dieser Methode schon 1933 von Fritz Zwicky an Galaxienhaufen gezeigt, dass ein Großteil der Masse in Form Dunkler Materie vorlag: die Addition der Massen der sichtbaren Galaxien des Haufens lag eine Größenordnung niedriger[9]. Auch bei elliptischen Galaxien ergab sich, dass die Virialmasse um Faktoren 10 bis 100 größer als die leuchtende Masse ist. Im Gegensatz zu Spiralgalaxien, wo man die Masse aus der Rotationskurve bestimmen kann, ist die Virial-Methode bei elliptischen Galaxien häufig die einzige Methode der Massenbestimmung.

Eine weitere astrophysikalische Anwendung ist die Abschätzung der Jeans-Masse und der Satz findet auch Anwendung in Untersuchungen zur Stabilität von Gaskugel-Modellen für Sterne.[10]

Tensor-Form und Varianten in der Astrophysik[Bearbeiten]

Im Rahmen der Kontinuumsmechanik wird der tensorielle Virialsatz aus der stoßfreien Boltzmann-Gleichung und den daraus abgeleiteten Jeans-Gleichungen bewiesen und in der Astrophysik verwendet. Wenn als Wechselwirkung wiederum die Gravitation angenommen wird, hat der Satz die Form

\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2} I_{ij} = 2 T_{ij}+\Pi_{ij}+U_{ij}

mit

Im statischen Fall fällt die Zeitableitung auf der linken Seite der Gleichung weg, und da der Spannungstensor spurfrei ist, ergibt die Spur der Gleichung wieder den skalaren Virialsatz.

Das Auftreten der zweiten Zeitableitung des Trägheitstensors kann aus folgender Umformulierung von  G im skalaren Fall motiviert werden:

G = \sum_{k=1}^N \vec p_k \cdot \vec x_k = \sum_{k=1}^N m_{k} \, \frac{d \vec x_k}{dt} \cdot \vec x_k= \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^N m_{k} \, \vec x_k \cdot \vec x_k = \frac{1}{2} \frac{dI}{dt}

mit dem skalaren Trägheitsmoment

I =  \sum_{k=1}^{N} m_{k} {\vec x_k}^{2}

Die Form des Virialsatzes

\frac {1}{2} \frac{d^2 I}{d t^2} = 2 T + \Omega

wurde für Anwendung in der Astrophysik zuerst von Henri Poincaré[11] und Arthur Eddington[12] abgeleitet,[10] wobei für stationäre Systeme die linke Seite verschwindet und in der betrachteten Anwendung \Omega die potentielle gravitative Energie der Teilchen einer Gaswolke oder Sterne in Galaxien war:

\Omega= - \sum_{i \neq j} \frac {G m_i m_j}{r_{ij}}

Eine Tensorform des Virialsatzes für astrophysikalische Anwendungen in Anwesenheit magnetischer Felder wurde von 1954 von Eugene Parker[13] und 1953 von Subramanyan Chandrasekhar und Enrico Fermi gegeben.[14]

Quantenmechanik[Bearbeiten]

Für die Quantenmechanik behält der Virialsatz seine Gültigkeit, wie von Fock gezeigt wurde.[15]

Der Hamiltonoperator des Systems aus Punktteilchen sei

H=V(\{X_i\})+\sum_n P_n^2/2m.

Man bilde den Kommutator von H mit X_n P_n, gebildet aus dem Ortsoperator X_n und dem Impulsoperator P_n=-i\hbar d/dX_n des n-ten Teilchens:

[H,X_nP_n]=X_n[H,P_n]+[H,X_n]P_n=i\hbar X_n\frac{dV}{dX_n}-i\hbar\frac{P_n^2}{m}

Bildet man durch Summierung über die Teilchen Q=\sum_n X_nP_n, so folgt

\frac{i}{\hbar}[H,Q]=2 T-\sum_n X_n\frac{dV}{dX_n}

mit der kinetischen Energie T=\sum_n P_n^2/2m. Nach den Heisenbergschen Bewegungsgleichungen ist die linke Seite geich -dQ/dt. Der Erwartungswert \langle dQ/dt\rangle verschwindet in einem stationären Zustand, sodass mit

2\langle T\rangle=\sum_n\langle X_n dV/dX_n\rangle

die Quantenversion des Virialsatzes folgt, wobei die spitzen Klammern für quantenmechanische Erwartungswerte der jeweiligen Operatoren für einen stationären Zustand stehen.

Der Virialsatz der statistischen Mechanik[Bearbeiten]

Wie der Gleichverteilungssatz gehört auch eine Version des Virialsatzes zu den allgemeinen Aussagen der klassischen statistischen Mechanik. Als Mittelbildung mit Hilfe des kanonischen Ensembles erhält man (siehe den Artikel Äquipartitionstheorem)

\left\langle x_i\frac{\partial H}{\partial x_i}\right\rangle = k_B T
\left\langle p_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\right\rangle = k_B T

mit H = H_{kin} + U (x). Die untere Gleichung liefert \frac {1}{2} \left\langle p_i \frac{\partial H}{\partial p_i }\right\rangle = \left\langle \frac {p_i^2}{2m}\right\rangle=\frac {1}{2} k_B T, also einen Beitrag \frac {1}{2} k_B T pro Freiheitsgrad für die mittlere kinetische Energie (Gleichverteilungssatz). Die untere und obere Gleichung zusammen liefern den Virialsatz der statistischen Mechanik

\left\langle H_{kin} \right\rangle= \left\langle \sum_i \frac{ p_i^2}{2m}\right\rangle= \frac {1}{2} \sum_i \left\langle \vec x_i\frac{\partial U}{\partial \vec x_i}\right\rangle,

der auch in der Quantenstatistik gilt. Es ist nach Clausius üblich, den Beitrag des Potentials in einen Beitrag vom Potential der inneren Kräfte (Wechselwirkung der Teilchen untereinander) V_{int} (\vec x_i) („inneres Virial“) und vom Wandpotential W = \sum_i W (\vec x_i) aufzuteilen. Das Virial der Kräfte auf die Wand („äußeres Virial“) liefert

\sum_i \left\langle \vec x_i \frac{\partial W}{\partial \vec x_i}\right\rangle = p \int d \vec f \cdot \vec x = p \int d V (div \, \vec x ) = 3 p V

mit dem Druck p und dem Volumen V. Dabei wurde über die Oberfläche (Wand) integriert und der Gaußsche Integralsatz angewandt. Damit erhält man die Virialform

3 p V = 2 \left\langle H_{kin} \right\rangle - \sum_i \left\langle \vec x_i \frac{\partial V_{int}}{\partial \vec x_i} \right\rangle

der thermischen Zustandsgleichung, also für N Teilchen mit dem Gleichverteilungssatz:

p V = N k_B T - \frac {1}{3} \sum_i \left\langle \vec x_i\frac{\partial V_{int}}{\partial \vec x_i}\right\rangle

Das ist die ideale Gasgleichung mit dem Virial der inneren Kräfte als Zusatzterm. Das Virial kann nach Potenzen der Teilchendichte N/V entwickelt werden (siehe: Virialentwicklung) für die Entwicklung von Zustandsgleichungen für reale Gase.

Die Ableitung der Gasgleichung war auch das Hauptziel der ursprünglichen Arbeit von Clausius, wobei er den Virialsatz der Mechanik als Grundlage benutzte.

Literatur[Bearbeiten]

Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.
Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.
  • Wilhelm Brenig: Statistische Theorie der Wärme. 3. Auflage, Springer 1992, S. 144 f. (Virialsatz in statistischer Mechanik)
  • George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press,‎ 1978, Online.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R. Clausius: Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz. Annalen der Physik, Band 217, 1870, S. 124–130.
  2. a b H. Goldstein: Klassische Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S. 76 f.
  3. Die Definitionen des Virials variieren etwas, z.B. lassen sowohl Wolfgang Pauli in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor -1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.
  4. a b  J. Honerkamp, H. Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 2012, ISBN 9783642232626 (Kapitel 2.12: Der Virialsatz. in der Google-Buchsuche).
  5.  J. Wess: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, 2008, ISBN 9783540748694 (Kapitel 13: Homogene Potenziale. in der Google-Buchsuche).
  6. a b c H. Voigt, Abriss der Astronomie, 1980, BI Verlag, S. 367ff bzw. S. 487
  7. Sebastian von Hoerner, Zeitschrift für Astrophysik, Band 50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher
  8. Roger Tayler, Galaxien, Vieweg 1986, S. 120
  9. Albrecht Unsöld, Bodo Baschek, Der neue Kosmos, Springer 1988,S. 346
  10. a b S. Chandrasekhar: An introduction to the study of stellar structure. Chicago 1939, S. 51 ff.
  11. H. Poincaré: Lecons sur les hypothèses cosmogoniques. Paris 1911.
  12. A. Eddington: Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 76, 1916, 528.
  13. E. Parker: Tensor Virial Equations. Physical Review 96, 1954, 1686–1689.
  14. S. Chandrasekhar, E. Fermi: Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field. Astrophysical Journal, 118, 1953, 116.
  15. W. A. Fock: Bemerkung zum Virialsatz. In: Zeitschrift für Physik. 63, Nr. 11, 1930, S. 855–858. doi:10.1007/BF01339281.