Viskosität

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Physikalische Größe
Name	kinematische Viskosität
Formelzeichen der Größe	ν
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI m2·s−1 L2·T −1

Physikalische Größe
Name	dynamische Viskosität
Formelzeichen der Größe	η
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI N·s·m−2 = kg·m−1·s−1 M·L−1·T−1
Anmerkungen
auch in Pa·s bzw. mPa·s angegeben

Die Viskosität ist ein Maß für die Zähflüssigkeit eines Fluids. Der Kehrwert der Viskosität ist die Fluidität, ein Maß für die Fließfähigkeit eines Fluids. Je größer die Viskosität, desto dickflüssiger (weniger fließfähig) ist das Fluid; je niedriger die Viskosität, desto dünnflüssiger (fließfähiger) ist es. In der Animation wird eine dünnflüssige Substanz (oben) mit einer dickflüssigen (unten) verglichen. Das Verhalten ist ersichtlich ganz unterschiedlich.

Vergleich zweier Substanzen mit verschiedenen Viskositäten

Normalerweise wird mit dem Begriff Viskosität die Viskosität in Scherung verbunden, es ist allerdings auch möglich, die Viskosität in Dehnung zu messen, siehe dazu die Seite Dehnviskosität.

Teilchen zäher Flüssigkeiten sind stärker aneinander gebunden und somit unbeweglicher; man spricht daher auch von der inneren Reibung. Sie resultiert nicht nur aus den Anziehungskräften zwischen den Teilchen des Fluids (Kohäsion).

Die Viskosität von Feststoffen ist generell sehr hoch (und damit schwer bestimmbar), statt dessen werden häufig Begriffe wie Duktilität, Sprödigkeit und Plastizität verwandt.

Der Begriff Viskosität geht auf den typisch zähflüssigen Saft der Beeren in der Pflanzengattung Misteln (Viscum) zurück. Aus diesen Misteln wurde der Vogelleim gewonnen, „viskos“ bedeutet also grob „zäh wie Vogelleim“.

Fließverhalten von Flüssigkeiten

Den Effekt innerer Reibung kann man sich vereinfacht durch die Bewegung zweier übereinander liegender, verzahnter Molekülschichten vorstellen (siehe Abb. Punkt 1). Beim Fließen gleiten die Moleküle aneinander vorbei, und um die Verzahnung zu überwinden, benötigt man eine gewisse Kraft. Den Zusammenhang zwischen dieser Kraft und den Eigenschaften des vorliegenden Fluids definiert die Viskosität. Erkennbar wird dieser Zusammenhang besonders gut an der homologen Reihe der Alkane (kettenförmige Kohlenwasserstoffe), hier steigt die Viskosität mit der Kettenlänge und damit den zunehmenden intermolekular wirkenden Van-der-Waals-Kräften kontinuierlich an. Bei den mittleren Alkanen (ab Nonan, neun C-Atome) hat sie bereits einen Wert ähnlich dem von Wasser.

Modellvorstellung zur Viskosität, links der Geschwindigkeitsgradient (2) und rechts eine Veranschaulichung für die verzahnten Molekülschichten (1), weitere Erläuterungen siehe Text

Sehr gut veranschaulichen kann man sich die Viskosität auch an folgendem Beispiel: gleitet Wind über das Wasser eines Ozeans, erzeugt dies eine Bewegung der Wasserschicht an der Oberfläche. Je tiefer man nun taucht, desto ruhiger wird das Wasser, bis man einen Punkt erreicht, wo keine Strömung herrscht. Die einzelnen Flüssigkeitsschichten bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit, es entsteht ein Geschwindigkeitsgradient (siehe Abb. Punkt 2):

$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}$

Weht kein Wind mehr, bricht die Strömung zusammen, das Wasser ruht auch wieder an der Oberfläche. Dass die Flüssigkeit auch in tieferen Schichten trotz Wind an der Oberfläche praktisch ruht, ist Folge der inneren Reibung in der Flüssigkeit.

Die dynamische Viskosität der meisten Flüssigkeiten nimmt mit steigender Temperatur ab und kann oft mit der Arrhenius-Andrade-Beziehung beschrieben werden:

$\eta=\eta_0 e^{\frac{E_A}{R\cdot T}}$

Wobei η₀ eine Materialkonstante und E_A die Aktivierungsenergie (auch Platzwechselenergie), R die allgemeine Gaskonstante und T die absolute Temperatur sind. Bei Flüssigkeiten in der Nähe der Glasübergangstemperatur (bis ca. 100 K darüber) gilt meist die WLF-Beziehung, da das freie Volumen sehr gering ist und damit diese Größe dominiert, die in der Nähe der Glasübergangstemperatur eine sehr viel stärkere Temperaturabhängigkeit hat, als die Kettenbeweglichkeit, die hinter der Arrhenius-Andrade-Beziehung steht.

Der Grad der Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der Temperatur wird bei Ölen durch den Viskositätsindex beschrieben.

Definition der Viskosität

Man stelle sich zwei im Abstand x parallel angeordnete Platten der Fläche A vor. Zwischen diesen Platten befindet sich eine Flüssigkeit, die an beiden Platten haftet. In unserer Vorstellung soll der Raum mit der Flüssigkeit in Schichten unterteilt sein. Wird nun Platte 2 mit der Geschwindigkeit v bewegt, so bewegt sich die Schicht in unmittelbarer Nachbarschaft zu Platte 2 auf Grund der Haftung ebenfalls mit der Geschwindigkeit v. Da Platte 1 ruht, ruht auch ihre Nachbarschicht. Die innenliegenden Flüssigkeitsschichten gleiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aneinander vorbei. Die Geschwindigkeit nimmt von der ruhenden Platte zur bewegten zu. Im einfachsten Fall besteht eine lineare Abhängigkeit. Von der obersten, an der Platte haftenden Schicht geht eine Tangentialkraft auf die darunterliegende Schicht aus. Diese bewegt sich folglich mit der Geschwindigkeit v₁. Diese Schicht wirkt wiederum auf die darunterliegende Schicht und bewegt sie mit der Geschwindigkeit v₂.

Im Experiment lässt sich zeigen, dass die Kraft F, die nötig ist, um Platte 2 zu bewegen, proportional zu ihrer Fläche A, ihrer Geschwindigkeit v und antiproportional zu dem Abstand der Platten x ist:

F∼A und F∼v und $F \sim \frac{1}{x}.$

Hieraus ergibt sich

$F\sim\frac{Av}{x}$

und als Gleichung

$F= \eta\frac{Av}{x}.$

Die Proportionalitätskonstante η ist die dynamische Viskosität. Häufig wird sie auch nur als Viskosität bezeichnet. Ein Stoff hat also die Viskosität 1 Ns/m², wenn bei einer Größe der Platten von 1 m² und einem Plattenabstand von 1 m eine Kraft von 1 N benötigt wird, um die Platten mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s gegeneinander zu verschieben.

Für die physikalische Einheit gilt: $1{\rm N}=[\eta] \cdot\left(\frac{{\rm m}^2\,{\rm m}}{{\rm m}\,{\rm s}}\right) \Rightarrow [\eta] = \frac{{\rm N}\,{\rm s}}{{\rm m}^2}.$

Ist η unabhängig von der Geschwindigkeit v, so wird die Flüssigkeit als Newtonsche Flüssigkeit bezeichnet. Für diese Flüssigkeiten stellt sich das im Schubspannungs-Schergeschwindigkeits-Diagramm gezeigte, lineare Geschwindigkeitsprofil ein (Kurve 2: Newtonsches Fluid). Ist η von v abhängig, so bezeichnet man die Flüssigkeit als nicht-newtonsch.

Newtonsche Flüssigkeiten

Im Folgenden wird der vereinfachte Zusammenhang gemäß dem newtonschen Viskositätsgesetz dargestellt, es wird dabei stets laminare Strömung sowie Temperatur- und Druckunabhängigkeit der Flüssigkeitseigenschaften angenommen. Außerdem unterstellte Newton eine lineare Abhängigkeit des oben erläuterten Geschwindigkeitsgradienten, der auch Schergeschwindigkeit $\dot\gamma$ (manchmal auch mit D oder G bezeichnet) genannt wird:

$\dot\gamma = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}$

Schubspannungs-Schergeschwindigkeits-Diagramm:
1: dilatantes Fluid
2: Newtonsches Fluid
3: Scherverdünnendes (pseudoplastisches) Fluid
4: Bingham-plastisches Fluid
5: Casson-plastisches Fluid

Verknüpft man dies mit der Schubspannung τ, erhält man folgenden Zusammenhang für die dynamische Viskosität:

$\tau=\eta \cdot \frac{\mathrm dv}{\mathrm dy} \Rightarrow \eta = \frac{\tau}{\dot\gamma}$

Die Schubspannung τ ergibt sich aus der die Strömung bewirkenden Kraft bezogen auf die betroffene Angriffsfläche, die sich mit maximaler Geschwindigkeit bewegt. η wird bei newtonschen Flüssigkeiten als Konstante angesehen. Darüber hinaus wird das Verhältnis zwischen der dynamischen Viskosität η und der Dichte ρ definiert als kinematische Viskosität.

kinematische Viskosität:    $\nu = \frac{\eta}{\rho}$          dynamische Viskosität:    $\eta = \nu \cdot \rho$

Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten

Viele Substanzen folgen diesem Gesetz jedoch nicht, sondern zeigen ein zeit- oder schergeschwindigkeitsabhängiges Verhalten. Dabei unterscheidet man verschiedene Arten der Abweichung:

• Strukturviskosität / Dilatanz, dabei ist die Viskosität η keine Konstante, sondern ändert sich mit dem Schergefälle $\dot\gamma$
• Thixotropie / Rheopexie, hierbei zeigen sich zeitabhängige Strukturveränderungen, so dass je nach Zeitdauer seit der letzten Fließbewegung andere Viskositätswerte zu finden sind
• Fließgrenze, es muss erst eine gewisse Mindestschubspannung vorhanden sein, um ein Fließen zu erreichen (plastisches Fließen). Diese Art Fluid wird auch als Bingham-Fluid bezeichnet.

Derartige Fluide bezeichnet man als nichtnewtonsche Fluide.

Im allgemeinen Fall muss das Schergefälle $\dot\gamma$ aus dem Scherwinkel in der Flüssigkeit berechnet werden und nicht über den Geschwindigkeitsgradienten.

Einheit

Die SI-Einheit der

dynamischen Viskosität: $[\eta] = \frac{\rm Ns}{\rm m^2}$

kinematischen Viskosität: $[\nu] = \frac{\rm m^2}{\rm s}$

In der Praxis wird für die dynamische Viskosität neben der Pa·s (Pascalsekunde) außerdem der tausendste Teil der SI-Einheit mPa·s (Millipascalsekunde) für Medien niedriger Viskosität verwendet.

Im CGS-System wird die dynamische Viskosität in Poise (P) gemessen, wobei 1 Ns/m² = 1 Pa·s = 10 Poise = 1000 Centipoise = 1000 cP = 1 kg/ms, und die kinematische Viskosität in Stokes (St), 1 St = 10⁻⁴ m²/s.

Das Engler-Grad ist eine veraltete Einheit für die Viskosität. Diese Einheit gibt die Viskosität im Vergleich zu Wasser an.

Typische Viskositätswerte

Viskosität verschiedener Flüssigkeiten in Abhängigkeit von der Temperatur

Viskosität der Lösungen von Glyzerin oder Saccharose (Rohrzucker) in Wasser, in Abhängigkeit vom Massenanteil, für die Glyzerinlösungen auch bei unterschiedlichen Temperaturen

Substanz	η in mPa·s 1)
Wasser (5 °C)	1,52
Wasser (10 °C)	1,297
Wasser (20 °C)	1,00
Wasser (25 °C)	0,891
Petroleum	0,65
n-Pentan (25 °C)	0,224
Diethylether	0,240
Hexan	0,320
Heptan	0,410
Octan	0,538
Nonan	0,711
Chloroform	0,56
Decan	0,920
Dodecan	1,52
Ethanol	1,19
Essigsäure (80%-ige bei 25°C)	2,31
Benzol (25 °C)	0,601
Motoröl (150 °C)	3!~3
Motoröl (25 °C)	100!~100
Schweröl RMA 30 (50 °C)	30
Schweröl RMK 700 (50 °C)	700
Glycerin (rein)	1480
Lack	100!~ 102
Paraffinöl	100!102 bis 106
Polymerschmelzen	1000!103 bis 1013 2)
Bitumen (je nach Sorte)	10000000!≈107 bis 1014
Asphalt (je nach Rezeptur)	100000000000!≈1011 bis 1016
Quecksilber	1,55
Glas (Verarbeitungstemperatur)	100!≈102 bis 104
Glas (Raumtemperatur)	1000000000000000000!≈1018 bis 1020
Blut (37 °C)	4!4 bis 25
Traubensaft	2!2 bis 5
Olivenöl	100!≈102
Honig	10000!≈104
Sirup	100000!≈104 bis 105
Kaffeesahne	10!≈10
Steinsalz	1000000000000000000!≈1018 bis 1021 3)
Erdmantel	1000000000000000000000!≈1021 bis 1023

¹⁾ Sofern nicht anders vermerkt, beziehen sich die Werte auf die Viskosität für 20 °C.
1 mPa = 0,001 N/m² = 10^-7 N/cm²
²⁾ Bei Polymeren gibt es einen sehr breiten Bereich an Viskositäten, der im Wesentlichen von der Kettenlänge und deren Verzweigungsstruktur (und natürlich von der Temperatur) abhängt. Hergestellt werden z.B. Siliconöle (PDMS) mit definierten Viskositäten zwischen 0,6 mPa·s bei 25 °C und 1.000.000 mPa·s bei 27 °C. Polymerschmelzen können aber auch noch sehr viel höhere Viskositäten aufweisen. Bei einem UHMW-HDPE (für Hüftgelenksimplantate) wurden Viskositäten jenseits der 10¹³ mPa·s bei 150 °C gemessen.

Man muss aber bedenken, dass bei normalen ungefüllten Polymerschmelzen spätestens ab einer Viskosität von 10.000 mPa·s Strukturviskosität auftritt, deren Intensität (also wie stark die Viskosität bei hoher Scherrate sinkt) sich bei steigender Viskosität erhöht.

³⁾ Die Viskosität eines kristallinen Festkörpers ist prinzipiell unendlich groß. Da auf lange Sicht durch die unvermeidlichen Fehlstellen im Kristallit dennoch eine irreversible Deformation auftreten kann, erhält man bei realen kristallinen Stoffen dennoch zwar sehr große, aber endliche Werte.

Bei der Landhebung, einem nacheiszeitlichen Effekt der Erdoberfläche, sind es rund 10²¹ Pa·s.

Viskosität von Gasen

Viskosität verschiedener Gase bei Normaldruck

Viskosität von Stickstoff in Abhängigkeit vom Druck für verschiedene Temperaturen

Viskosität von Stickstoff in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Drücke

Für Gase lässt sich die Viskosität anhand einer mikroskopischen Betrachtung des Impulsflusses abschätzen:

$\eta = \frac{1}{3}\,n\,m\,v\,\lambda$

mit der freien Weglänge λ für die Gasteilchen, der Masse der Gasteilchen m, der mittleren Teilchengeschwindigkeit v und der Teilchenzahldichte n.

Die Viskosität von Gasen ist bei niedrigen Drücken (≈0,1 bis 10 bar) unabhängig vom Druck. Dies gilt solange, wie die freie Weglänge klein gegenüber den Gefäßabmessungen und groß gegenüber den Molekülabmessungen ist. Mit anderen Worten: Für ein sehr dünnes oder ein sehr dichtes Gas wird die Viskosität doch wieder vom Druck beziehungsweise der Dichte des Gases abhängig.

Grundsätzlich abhängig ist die Viskosität aber von der Temperatur. Mit zunehmender Temperatur steigt die Viskosität, da die mittlere Teilchengeschwindigkeit v proportional zu T^0,5 wächst (vgl. Abschnitt „Kinetische Gastheorie“). Dieses Verhalten ist bei den meisten Flüssigkeiten genau entgegengesetzt. Die folgende Tabelle listet zu einigen Gasen die Viskositäten und freien Weglängen auf.

Gas	η (273 K) in µPa·s	λ (1 atm) in nm
Luft	17,1	59,8
Sauerstoff (O2)	19,2	63,3
Kohlendioxid (CO2)	13,8	39,0
Stickstoff (N2)	16,6	58,8
Argon	21,0	62,6
Neon	29,7	124,0
Helium	18,6	174,0
Wasserstoff (H2)	8,4	111,0

Kinetische Gastheorie

Nach Hirschfelder kann die Viskosität reiner Gase mit Hilfe der kinetischen Gastheorie in einem großen Temperaturbereich (etwa von 200 bis 3000 Kelvin) berechnet werden.

$\eta = \frac{5 \sqrt{\pi m k_{B} T}}{16 \pi \sigma^{2} \Omega^{(2,2)^{\star}}}$

Hierbei ist m die Molekülmasse, k_B die Boltzmann-Konstante, T die Temperatur, σ der Lennard-Jones-Stoßdurchmesser und $\Omega^{(2,2)^{\star}}$ das reduzierte Stoßintegral, das von der reduzierten Temperatur $T^{\star} = k_{B} T / \epsilon$ abhängt. $\epsilon$ ist die Energie des Lennard-Jones-Potentials. Werte für die Lennard-Jones-Parameter und das reduzierte Stoßintegral sind in Lienhards Lehrbuch zur Wärmeübertragung in Kapitel 11 aufgeführt. Das reduzierte Stoßintegral $\Omega^{(2,2)^{\star}}$ ist so definiert, dass für ein ideales Gas, bei dem Teilchenwechselwirkungen wie Stöße harter Kugeln betrachtet werden, $\Omega^{(2,2)^{\star}} = 1$ gilt.

Fluidität

Der Kehrwert der Viskosität ist die Fluidität η ^{− 1} mit der Einheit $\left[\eta^{-1} \right]=\mathrm {\frac{m \cdot s}{kg}=\frac {m^2}{N\cdot s} }$.

Physik des Reibungstensors

Die Viskosität ist ein Maß für die Zähflüssigkeit eines Fluids. Sie begründet sich aus dem Experiment, nach dem zur Aufrechterhaltung einer Scherströmung eine Kraft erforderlich ist. Diese Kraft bewirkt einen Impulsaustausch innerhalb der Strömung bzw. mit dem Rand, weshalb sie zur Kategorie der Oberflächenkräfte zählt. Damit wird diese Kraft in der allgemeinsten Form als Divergenz eines Tensors formuliert:

$\mathbf F = - \nabla \cdot \mathbb S,$

wobei $\mathbb S$ die Komponente des Spannungstensors durch die Viskosität ist und zäher Spannungstensor oder Reibungstensor heißt.

Aus dem Experiment folgt unmittelbar, dass der Reibungstensor eine Funktion der Scherung der Strömung ist:

$\mathbb S = \mathbb S ( \nabla \mathbf v )$

Da keine Reibung bei homogene Strömung $( \mathbf v = const.$ oder $\nabla \mathbf v = 0),$ enthält der Reibungstensor keine Komponenten, die unabhängig von der Scherung sind. Mit der Annahme, der Geschwindigkeitsgradient sei klein im Sinne der Hydrodynamik, wird ein linearer Ansatz zwischen der Reibung und dem Geschwindigkeitsgradienten begründet.

Weiterhin ist die innere Reibung Null, wenn sich die Strömung in starrer Rotation $( \mathbf v = \mathbf \Omega \times \mathbf r )$ befindet, wobei $\mathbf \Omega$ die konstante Winkelgeschwindigkeit ist. Die Linearkombinationen der Ableitungen der Geschwindigkeiten sind gerade die symmetrischen Komponenten von $\nabla \mathbf v:$

$\frac {\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i},$

weshalb hier und im Folgenden die Einsteinsche Summenkonvention zu beachten ist.

Mit der weiteren Annahme einer isotropen Flüssigkeit werden die unmittelbaren Stoffeigenschaften durch skalare Größen beschrieben. Damit wird der Reibungstensor:

$\mathbb S = \sigma_{ij} = \eta \left ( \frac {\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \right ) + \zeta \delta_{ij} \ \frac{\partial v_k}{\partial x_k}.$

Hier beschreibt der erste Term die Reibung durch volumentreue Deformation (für i = j wird der Term in der Klammer Null). Der zweite Term beschreibt die innere Reibung durch Volumenänderung. Dieser Term wird für den häufigen Fall der Inkompressibilität verschwinden.

Siehe auch

• Gesetz von Stokes
• Navier-Stokes-Gleichungen
• Gesetz von Hagen-Poiseuille
• Visco-Kupplung
• Rheologie
• Vulkameter
• Viskosimeter
• Andrade-Gleichung
• Vogel-Fulcher-Tammann-Gleichung
• Pechtropfenexperiment
• Reynolds-Zahl

Literatur

• Joseph O. Hirschfelder, Charles F. Curtiss, und Robert Byron Bird: Molecular Theory of Gases and Liquids. Wiley, 1964, ISBN 0-471-40065-3
• John H. Lienhard IV und John H. Lienhard V, A Heat Transfer Textbook. Phlogiston Cambridge, 3. Auflage, 2005
• Atkins, Peter W.: Physikalische Chemie / A. Höpfner (Übers.). 3., korr. Aufl. Weinheim, Wiley-VCH, 2002, ISBN 3-527-30236-0
• Dealy JM.: Structure and Rheology of Molten Polymers. München, Hanser Fachbuchverlag, 2006
• Gabriel C.: Einfluss der molekularen Struktur auf das viskoelastische Verhalten von Polyethylenschmelzen. Lehrstuhl für Polymerwerkstoffe, Erlangen, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 2001
• Piel C, Stadler FJ, Kaschta J, Rulhoff S, Münstedt H, Kaminsky W: Structure-property relationships of linear and long-chain branched metallocene high-density polyethylenes and SEC-MALLS. Macromolecular Chemistry and Physics 207 (1), 26-38, 2006
• Gehm, Lothar: RHEOLOGIE – Praxisorientierte Grundlagen und Glossar. VINCENZ 1998, ISBN 3-87870-449-6
• Schwarzl, FR.: Polymermechanik. Heidelberg, Berlin, New York, Springer, 1993

Weblinks

•  Wiktionary: Viskosität – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Commons: Viscosity – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Viskosität (PDF-Datei; 157 kB)
• Umrechnungstabelle Viskositäten (englisch)