Voigt-Profil

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Unter dem Voigt-Profil oder auch der Voigtfunktion (nach Woldemar Voigt) versteht man die Faltung einer Gauß-Kurve G(x) mit einer Lorentz-Kurve L(x).

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]


V(x) = (G*L)(x) = \int G(\tau)L(x-\tau)d\tau

G(x) = \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2)}}{\sigma \sqrt{2\pi}}

L(x) = \frac{\gamma}{\pi(x^2+\gamma^2)}.

\sigma entspricht der Standardabweichung einer Gauß-Verteilung. In der Spektroskopie wird sie als Dopplerbreite bezeichnet. \gamma ist die halbe Halbwertsbreite der Lorentzverteilung, in der Spektroskopie als Druckverbreitung bekannt. Das Voigt-Profil entsteht aus der Faltung des Gauß-Profils mit dem Lorentz-Profil. Das Voigt-Profil ist wie jeweils das Gauß- und Lorentz-Profil auf 1 normiert (Fläche unter den Profilen).

Numerische Darstellung[Bearbeiten]

Für das Faltungsintegral V(x) existiert keine analytische Lösung, doch kann es als Realteil der Faddeeva-Funktion w(z) (skalierte komplexe Fehlerfunktion, Plasma-Dispersionsfunktion) ausgedrückt werden, für die hinreichend gute Näherungen verfügbar sind:

V(x) = \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}.

z ist hier definiert als

z = \frac{x + i\gamma}{\sigma\sqrt{2}}.

Die Breite des Voigt-Profils[Bearbeiten]

Das FWHM des Voigt-Profils lässt sich aus den Breiten der beteiligten Lorentz- und Gauß-Kurven bestimmen. Bekannt ist die Breite des Gauß-Profils:

f_\mathrm{G} = 2\sigma\sqrt{2\ln(2)}.

und die Breite des Lorentz-Profils:

f_\mathrm{L} = 2\gamma\,

Dann gilt näherungsweise:

f_\mathrm{V}\approx f_\mathrm{G} \left(1 - c_0 c_1 + \sqrt{\phi^2 + 2 c_1 \phi + c_0^2 c_1^2}\right)

mit \phi = \frac{f_\mathrm{L}}{f_\mathrm{G}}, c0=2,0056 und c1=1,0593. Diese Abschätzung hat einen relativen Fehler von etwa 2,4 % für Werte \phi zwischen 0 und 10. Obige Gleichung liefert für die Grenzwerte \phi = 0\, und \phi = \infty das korrekte Verhalten.

Eine alternative Näherung ist die Formel nach Olivero and Longbothum [1].

f_\mathrm{V}\approx 0{,}5346 f_\mathrm{L} + \sqrt{0{,}2166f_\mathrm{L}^2 + f_\mathrm{G}^2},

die mit einer Genauigkeit von 0,02 % angegeben ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Voigt-Funktion ist invariant gegenüber Faltung, d. h., die Faltung einer Voigtfunktion mit einer Voigt-Funktion ergibt wieder eine Voigtfunktion. Die Linienbreiten des Gauß- bzw. Lorentz-Anteils ergeben sich dabei zu:

f_\mathrm{G}^{2} = \sum_{i}{(f_\mathrm{G}^{2})_{i}}; f_\mathrm{L} = \sum_{i}{(f_\mathrm{L})_{i}}.

Näherung durch Pseudo-Voigt-Profil[Bearbeiten]

Das Pseudo-Voigt-Profil (oder die Pseudo-Voigt-Funktion) ist eine Näherungsfunktion des Voigt-Profils V(x), das eine Faltung einer Gauß-Kurve G(x) mit einer Lorentzkurve L(x) ist. Beim Pseudo-Voigt-Profil wird diese Faltung durch eine Linearkombination aus Gauß-Kurve und Lorentzkurve ersetzt.

Die Pseudo-Voigt-Funktion wird oft zur Ausgleichsrechnung von Röntgendiffraktometrie-Profilen verwendet.

Mathematische Definition:


V_p(x)=\eta \cdot L(x) + (1-\eta) \cdot G(x) 
\;   mit   0<\eta <1

G(x) = \exp{\left[-\ln(2) \cdot \left(\frac{x-x_0}{w}\right)^{2}\right]}
\;

L(x) = \frac{1}{1 + (\frac{x-x_0}{w})^{2}}

Dabei ist 2w die Halbwertsbreite der Pseudo-Voigt-Funktion.

Beispiele[Bearbeiten]

Voigt-Profile
Voigt-Profile in logarithmischer Skala

Bei einem großen Verhältnis zwischen Druck- und Dopplerverbreiterung \gamma/\sigma \gg 1 ist das Voigt-Profil mit dem Lorentz-Profil fast identisch. Nur unmittelbar an der Linienmitte tritt eine geringe Abrundung durch die Faltung mit der Gaußkurve auf. Liegt \gamma/\sigma bei 1, wird der zentrale Teil der Linie durch das Gauß-Profil dominiert, man spricht dann vom Dopplerkern. Außen setzt sich jedoch das viel langsamer abfallende Lorentz-Profil durch, man bezeichnet diesen Bereich als Dämpfungsflügel. Im Falle \gamma/\sigma \ll 1 wird aus dem Voigt-Profil nahezu ein Gauß-Profil. Die logarithmische Darstellung (die Gaußkurve erscheint dann als Parabel) lässt jedoch erkennen, dass sehr weit von der Linienmitte entfernt immer noch das Lorentz-Profil hervortritt, allerdings dann auf sehr niedrigem Niveau.

Der Fall \gamma/\sigma \gg 1 entspricht durchwegs irdischen Bedingungen, denen etwa die Spektrallinien der in der Erdatmosphäre vorhandenen Moleküle unterworfen sind. Der Fall \gamma/\sigma = 1 oder gar \gamma/\sigma \ll 1 setzt niedrige Drücke und hohe Temperaturen voraus, wie sie zumeist für Sternatmosphären charakteristisch sind.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. J. J. Olivero, R. L. Longbothum: Empirical fits to the Voigt line width: A brief review. In: Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Bd. 17, Nr. 2, 1977, S. 233–236, doi:10.1016/0022-4073(77)90161-3.

Weblinks[Bearbeiten]

  • http://apps.jcns.fz-juelich.de/libcerf, numerische C-Bibliothek für komplexe Fehlerfunktionen von Steven G. Johnson und Joachim Wuttke, enthält eine Funktion voigt (x, sigma, gamma) mit ungefähr 13-stelliger Genauigkeit.