Vollständigkeit (Statistik)

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Vollständigkeit ist in der mathematischen Statistik ein Begriff. Sie kann als Eigenschaft messbaren Funktionen zukommen, die aus dem Stichprobenraum in einen beliebigen Maßraum abbilden.

Vollständigkeit wird für gewöhnlich zusammen mit Suffizienz angestrebt. Während eine suffiziente Statistik einen Datensatz reduziert, ohne dass wichtige Informationen verloren gehen, reduziert ihn eine vollständige Statistik anschaulich so weit wie möglich.

Definition[Bearbeiten]

Formal seien \mathcal \Chi der Stichprobenraum, \mathcal \tau ein beliebiger Maßraum und T: \mathcal \Chi \rightarrow \mathcal \tau eine messbare Abbildung zwischen den beiden Räumen. Ferner sei X = (X_1, \ldots X_n) eine Zufallsvariable auf dem Stichprobenraum, deren Verteilung aus einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen \mathcal P = \{ P_{\vartheta} ; \; \vartheta \in \Theta \} stammt.

T \; heißt dann vollständig für die Familie \mathcal P, falls für alle messbaren Funktionen g, die E_{\vartheta}[g(T(X))] = 0 für alle \vartheta erfüllen, schon P_\vartheta ( g(T(X)) = 0 ) = 1 für alle \vartheta gilt.

Man kann sagen: Wenn g ein erwartungstreuer Schätzer von 0 ist, ist g(T(X)) selber schon fast sicher gleich 0.

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Seien X_1, X_2 stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert \vartheta und beschränkter Varianz.

Dann ist E[ X_1 - X_2 ] = E[ g(X_1,X_2) ] = 0. Die Funktion g ist also ein erwartungstreuer Schätzer von 0 und der Integrand ist nicht die Nullfunktion.

Anwendung[Bearbeiten]

Statistische Vollständigkeit ist eine Voraussetzung für den Satz von Lehmann–Scheffé, in diesem Zusammenhang wurde der Begriff von E. L. Lehmann und H. Scheffé auch in die Statistik eingeführt.

Literatur[Bearbeiten]

  • E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I. In: Sankhyā. 10, Nr. 4, 1950, S. 305–340.
  • E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. II. In: Sankhyā. 15, Nr. 3, 1955, S. 219–236.
  • Helmut Pruscha: Vorlesungen über Mathematische Statistik. B. G. Teubner, Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02393-8, Abschnitt II.3.