Von-Neumann-Gleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Von-Neumann-Gleichung (nach John von Neumann) stellt das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik dar. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators \hat\rho im Schrödinger-Bild:

\frac{\partial\hat\rho}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}\left[\hat H,\hat\rho\right]

\hat H ist dabei der Hamilton-Operator des Systems und [\hat H,\hat\rho]=\hat H\hat\rho-\hat\rho\hat H ist ein Kommutator. Der Dichteoperator ist \hat{\rho}=\sum{}\!_{k}\,p_{k}|\psi_{k}\rangle\langle\psi_{k}|. Dabei bezeichnet p_k die Wahrscheinlichkeit, in einem Gemisch den reinen Zustand |\psi_k\rangle zu messen, falls die Zustände |\psi\rangle orthogonal sind. Die Spur eines Dichteoperators ergibt 1, da \operatorname{Tr}(\hat\rho)=\sum{}\!_{k}\,p_{k}=1.

Diskussion[Bearbeiten]

Die allgemeine Lösung der Von-Neumann-Gleichung ist, wobei der Zeitentwicklungsoperator \hat{U}(t) und sein adjungierter Operator \hat{U}^{\dagger}(t) verwendet werden:

\hat{\rho}(t)=\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t)

Der Dichteoperator ist stationär \tfrac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=0, wenn dieser mit dem Hamiltonoperator vertauscht \left[\hat{H},\hat{\rho}\right]=0.

Mit Hilfe der Von-Neumann-Gleichung kann man zeigen, dass die Spur des quadratischen Dichteoperators zeitlich konstant ist:

\mathrm{Tr}(\hat{\rho}^{2}(t))=\mathrm{Tr}(\hat{\rho}(t)\hat{\rho}(t))=\mathrm{Tr}(\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\underbrace{\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)}_{=1}\hat{\rho}(0)\hat{U}^{\dagger}(t))=\mathrm{Tr}(\underbrace{\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)}_{=1}\hat{\rho}(0)\hat{\rho}(0))=\mathrm{Tr}(\hat{\rho}^{2}(0))
\Rightarrow\ \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{Tr} \left( \hat\rho^2 \right) = 0

Hierbei wurde im vorletzten Schritt die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. Wegen \operatorname{Tr} \left( \hat\rho^2 \right) \le 1 mit Gleichheit genau dann, wenn \rho einen reinen Zustand beschreibt, folgt daraus, dass reine Zustände rein bleiben und gemischte gemischt.

Erwartungswerte von Operatoren werden durch \langle\hat{A}\rangle=\mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{A}) ausgedrückt. Die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\hat{A}\rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{A})=\mathrm{Tr}\left(\frac{\partial\hat{\rho}}{\partial t}\hat{A}+\hat{\rho}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right)=\mathrm{Tr}\left(-\frac{i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\rho}\right]\hat{A}+\hat{\rho}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right)

ist im stationären Fall gleich:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\hat{A}\rangle=\mathrm{Tr}\left(\hat{\rho}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right)=\left\langle\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right\rangle

Der Erwartungswert einer Messung zeitunabhängiger Observablen \tfrac{\partial}{\partial t}\hat{A}=0 ist im stationären Fall zeitunabhängig \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle\hat{A}\rangle=0.

Herleitung[Bearbeiten]

Die Von-Neumann-Gleichung lässt sich aus der Schrödingergleichung herleiten.

Man bildet die partielle Ableitung des statistischen Operators, wobei man die Produktregel berücksichtigt:

\frac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=\sum_{k}p_{k}\left(\frac{\partial}{\partial t}|\psi_{k}\rangle\right)\langle\psi_{k}|+\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\left(\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi_{k}|\right)

Die Schrödingergleichung lautet für Hilbertraumvektoren (Ket)

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=\hat{H}|\psi\rangle\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle=-\frac{i}{\hbar}\hat{H}|\psi\rangle

und für duale Hilbertraumvektoren (Bra)

-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi|=\langle\psi|\hat{H}\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi|=\frac{i}{\hbar}\langle\psi|\hat{H}

Dies setzt man oben ein:

\frac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=\sum_{k}p_{k}\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}|\psi_{k}\rangle\right)\langle\psi_{k}|+\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\left(\frac{i}{\hbar}\langle\psi_{k}|\hat{H}\right)

Vereinfachen liefert die Von-Neumann-Gleichung:

\frac{\partial}{\partial t}\hat{\rho}=-\frac{i}{\hbar}\left(\hat{H}\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\langle\psi_{k}|-\sum_{k}p_{k}|\psi_{k}\rangle\langle\psi_{k}|\hat{H}\right)=-\frac{i}{\hbar}\left(\hat{H}\hat{\rho}-\hat{\rho}\hat{H}\right)=-\frac{i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\rho}\right]

Literatur[Bearbeiten]