von-Neumann-Hierarchie

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Die von-Neumann-Hierarchie oder kumulative Hierarchie ist ein Begriff der Mengenlehre, der eine Konstruktion von John von Neumann aus dem Jahr 1928 benennt, und zwar einen stufenweisen Aufbau des gesamten Mengenuniversums mit Hilfe von Ordinalzahlen.[1]

Definition[Bearbeiten]

Die Stufen V_\alpha zu Ordinalzahlen \alpha werden durch transfinite Rekursion über folgende Rekursionsbedingungen definiert:

Demnach ist

\begin{align}
V_1 &= \{\emptyset \} \\
V_2 &= \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \\
V_3 &= \{\,\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\,\}
\end{align}

usw.

Sämtliche Mengen in den V_\alpha sind also aus der leeren Menge heraus konstruiert. Die Stufen sind transitive Mengen, und es gilt V_\alpha \subset V_\beta für alle Ordinalzahlen \alpha < \beta, dies erklärt den Namen kumulative Hierarchie.

Die Hierarchie[Bearbeiten]

Innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (kurz ZF) lässt sich zeigen, dass jede Menge in einer Stufe der Hierarchie liegt:[2] Bezeichnet V:=\{x\mid x=x\} die Klasse aller Mengen gilt also

\begin{align}
V=\bigcup_{\alpha\in \operatorname{Ord}}V_\alpha
\end{align}

Hierbei wird das Fundierungsaxiom im Rahmen der Epsilon-Induktion essentiell verwendet. Umgekehrt folgt aus obiger Aussage auch das Fundierungsaxiom, beide Aussagen sind also äquivalent (über den restlichen Axiomen von ZF).

Weiterhin kann gezeigt werden, dass die Klasse \bigcup_{\alpha\in Ord}V_\alpha, aufgefasst als Teilmenge eines angenommenen Modells von ZF ohne Fundierungsaxiom, ein Modell für ZF ist. Selbiges ist also relativ konsistent zu den übrigen Axiomen.

Rangfunktion[Bearbeiten]

Da jede Menge x in einer geeigneten Stufe V_\alpha liegt, gibt es stets eine kleinste Ordinalzahl \alpha mit x\subseteq V_{\alpha} und damit x\in V_{\alpha +1}. Dieses \alpha wird als der Rang, Rg(x), der Menge x bezeichnet.

Mittels transfiniter Induktion über \alpha kann man

Rg(\alpha) \,=\, \alpha für alle Ordinalzahlen \alpha

zeigen. Für jede Menge x gilt Rg(x)=\sup\{Rg(y)+1\mid y\in x\}. Der Rang einer Menge x ist also stets strikt größer als der Rang aller ihrer Elemente.

Anwendungen[Bearbeiten]

  • V_\omega besteht genau aus den erblich endlichen Mengen. In V_\omega gelten mit Ausnahme des Unendlichkeitsaxioms alle ZFC-Axiome. Damit ist gezeigt, dass das Unendlichkeitsaxiom nicht aus den übrigen ZFC-Axiomen hergeleitet werden kann.
  • Ist \kappa eine unerreichbare Kardinalzahl, so ist V_\kappa ein Modell für ZFC. Insbesondere erhält man auf diese Weise ein Modell, in dem es keine unerreichbaren Kardinalzahlen gibt. Die Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen kann also nicht in ZFC hergeleitet werden.[3]
  • Die Stufen V_\alpha spielen eine Rolle beim Reflexionsprinzip, welches ein wichtiges Axiom im Scottschen Axiomensystem ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. John von Neumann: Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre, 1928, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik 160 (1929) 227-241. Dort S. 236f die komulative Hierarchie, aber namenlos.
  2. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3
  3. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2, Theorem 12.12.