Vorzeichenfunktion

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Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion (von lateinisch signum Zeichen) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer reellen oder komplexen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.

Vorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Graph der Vorzeichenfunktion

Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge \{-1, 0, 1\} ab und wird in der Regel wie folgt definiert:

\sgn(x):=
\begin{cases}
     +1 & \; \text{falls} \; x>0 \\
\;\;\,0 & \; \text{falls} \; x=0 \\
     -1 & \; \text{falls} \; x<0 \\
\end{cases}

Sie ordnet also den positiven Zahlen den Wert +1, den negativen Zahlen den Wert −1 und der 0 den Wert 0 zu.

Bei Anwendungen in der Rechentechnik verzichtet man meist auf eine Sonderstellung der 0, indem man sie den positiven, negativen oder beiden Zahlenbereichen zuordnet. Dadurch lässt sich das Vorzeichen einer Zahl in einem einzigen Bit kodieren. Die Vorzeichenfunktion ist darüber hinaus die schwache Ableitung der Betragsfunktion.

Ableitung und Integral[Bearbeiten]

Die Vorzeichenfunktion ist weder klassisch differenzierbar, noch besitzt sie eine schwache Ableitung. Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar, und ihre Ableitung ist 2\delta, wobei \delta die Delta-Distribution bezeichnet.

Für alle x \ne 0 gilt aber \sgn^\prime(x) = 0.

Ferner gilt für alle x \in \R

|x|=\int_0^x \sgn(t)\, dt\,.

Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Signum von vier komplexen Zahlen

Im Vergleich zur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet:

\sgn(z) :=
\begin{cases}
 \frac {z} {|z|} & \; \text{falls} \; z\ne 0 \\
 0 & \; \text{falls} \; z=0 \\
\end{cases}

Das Ergebnis dieser Funktion liegt für z \ne 0 auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt

\sgn\left(r\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\right)=\mathrm e^{\mathrm i\varphi},\qquad\mathrm{falls}\ r>0.

Beispiel: z_1 = 2 + 2\mathrm i (im Bild rot)

\operatorname{sgn}(z_1) = \operatorname{sgn}(2 + 2\mathrm i) = \frac {2 + 2\mathrm i} {\left| 2 + 2\mathrm i \right|} = \frac {2 + 2\mathrm i} {2\sqrt2} = \frac {1 + \mathrm i} {\sqrt{2}} = \frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}{2} {\mathrm i}.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Für die komplexe Vorzeichenfunktion gelten die folgenden Rechenregeln:

Für alle komplexen Zahlen z und w gilt:

  • z=|z|\cdot\sgn z für alle z, wobei |z| den Betrag von z bezeichnet;
  • \operatorname{sgn}(\bar z) = \overline{\operatorname{sgn}(z)}, wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bezeichnet;
  • \sgn(z\cdot w)=\sgn z\cdot\sgn w, insbesondere
    • \sgn(\lambda\cdot z)=\sgn z für positive reelle \lambda,
    • \sgn(\lambda\cdot z)=-\sgn z für negative reelle \lambda,
    • \operatorname{sgn}(-z) = -\operatorname{sgn}(z);
  • \operatorname{sgn}(|z|) = |\operatorname{sgn}(z)|.
  • Falls z\ne0 ist, gilt auch
\operatorname{sgn}(z^{-1}) = \operatorname{sgn}(z)^{-1} = \overline{\operatorname{sgn}(z)}.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Königsberger: Analysis 1. 6 Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 354040371X, S. 101.
  •  Hildebrandt: Analysis 1. 2 Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3540253688, S. 133.

Weblinks[Bearbeiten]