Wölbung (Statistik)

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Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung.[1] Die Wölbung ist das zentrale Moment 4. Ordnung. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig; bei Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen.

Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.[1]

Wölbung[Bearbeiten]

Empirische Wölbung[Bearbeiten]

Zur Berechnung der Wölbung einer empirischen Häufigkeitsverteilung x_1,\ldots,x_n wird die folgende Formel benutzt:

w = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4

Damit die Wölbung unabhängig von der Maßeinheit der Variablen ist, werden die Beobachtungswerte x_i mit Hilfe des arithmetischen Mittelwertes \bar{x} und der Standardabweichung s

z_i = \frac{x_i-\bar{x}}{s}

standardisiert. Durch die Standardisierung gilt

\bar{z}=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i = 0, \quad s_z^2=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i^2 = 1 \quad \text{und} \quad w=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i^4.

Da die Wölbung nur nicht-negative Werte annehmen kann, deutet ein kleiner Wert darauf, dass die standardisierten Beobachtungen z_i nahe dem Mittelwert stark konzentriert sind (bei einer Varianz von 1), d.h. die Verteilung ist flachgipflig.

Wölbung einer Zufallsvariable[Bearbeiten]

Analog zur empirischen Wölbung einer Häufigkeitsverteilung ist die Wölbung bzw. Kurtosis der Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen X definiert als ihr auf die vierte Potenz der Standardabweichung \sigma normiertes viertes zentrales Moment \mu_4(X).

 \beta_2=\frac{\mu_4(X)}{\mu_2(X)^2}=\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} .

Schätzung der Wölbung einer Grundgesamtheit[Bearbeiten]

Zur Schätzung der unbekannten Wölbung \omega einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten x_1,\ldots,x_n (n der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d.h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden:

\hat{\omega} = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4

mit \bar{x} der Stichprobenmittelwert und s die Stichprobenstandardabweichung.

Exzess[Bearbeiten]

Steilgipflig.svg
Flachgipflig.svg

Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die \beta_2=3 gilt. Der Exzess (auch: Überkurtosis) ist daher definiert als

 \gamma = \mathrm{Exzess} = \mbox{Wölbung}-3

Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.

Arten von Exzess[Bearbeiten]

Verteilungen werden entsprechend ihres Exzesses eingeteilt in:

  • \mathrm{Exzess}=0: normalgipflig oder mesokurtisch. Die Normalverteilung hat die Kurtosis \beta_2=3 und entsprechend den Exzess 0.
  • \mathrm{Exzess}>0: steilgipflig, supergaußförmig oder leptokurtisch. Es handelt sich hierbei um im Vergleich zur Normalverteilung spitzere Verteilungen, d.h. Verteilungen mit starken Peaks.
  • \mathrm{Exzess}<0: flachgipflig, subgaußförmig oder platykurtisch. Man spricht von einer im Vergleich zur Normalverteilung abgeflachten Verteilung.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Bernd Rönz, Hans G. Strohe (1994), Lexikon Statistik, Gabler Verlag, S. 323-324