W. Hugh Woodin

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William Hugh Woodin (* 23. April 1955 in Tucson) ist ein US-amerikanischer Mathematiker, der sich mit axiomatischer Mengenlehre beschäftigt.

Hugh Woodin 1994

Woodin wurde 1984 bei Robert M. Solovay an der University of California, Berkeley mit der Dissertation Discontinuous Homomorphisms of C(X) and Set Theory promoviert. Er ist Professor in Berkeley. 2002/03 und 2010/11 war er Vorsitzender des Fachbereichs Mathematik in Berkeley. Seit Januar 2014 ist er an der Harvard University.

Woodin leistete wichtige Beiträge zum Programm innerer Modelle der Mengenlehre, Theorie der Determiniertheit und großer Kardinalzahlen (von denen eine nach ihm benannt ist[1]). Arbeiten von Woodin sowie von Donald A. Martin und John R. Steel (1989) zeigten Verbindungen zwischen Determiniertheitsaxiomen und Axiomen großer Kardinalzahlen, wofür alle drei 1988 den Karp-Preis erhielten[2]. Aus seinen Arbeiten über \Omega-Logik glaubte er, Argumente für eine Lösbarkeit (und sogar Widerlegbarkeit) der Kontinuumshypothese (CH) gefunden zu haben. Diese ist nach Paul Cohen und Kurt Gödel unabhängig von den Zermelo-Fraenkel-Axiomen der Mengenlehre, offen bleibt aber, ob sie nicht durch Hinzunahme einiger weiterer "natürlicher" Axiome doch beweisbar oder widerlegbar ist. Gödel selbst glaubte an eine Widerlegbarkeit durch Hinzunahme von Axiomen großer Kardinalzahlen. In der Folge zeigte sich aber, dass diese allein nicht reichen.[3]

Inzwischen geht Woodin davon aus, dass sich ein inneres Modell der Mengenlehre konstruieren lässt, das ähnliche Eigenschaften hat, wie das konstruierbare Universum Gödels (L), und in dem bereits fast alle bekannten großen Kardinalzahlen existieren, die es im mengentheoretischen Universum V gibt. In diesem inneren Modell, das er mit Ultimate L bezeichnet, gilt die Kontinuumshypothese.[4] Zuvor hatte Woodin 2010 bewiesen, dass es reicht die Existenz einer superkompakten Kardinalzahl in einem solchen Modell zu beweisen, damit dieses die gesamte Hierarchie großer Kardinalzahlen enthält[5], was ihn bezüglich der Konstruktion eines solchen Ultimate L Modells optimistisch machte. Falls ihm die Konstruktion gelingt sieht er darin einen Kandidaten für ein ideales mengentheoretisches Universum und die Hinzunahme eines Axioms V=Ultimate L als natürliche Erweiterung der ZFC-Axiome. Die Meinung der Mengentheoretiker bezüglich einer möglichen Erweiterung der ZFC-Axiome ist aber gespalten, einige favoritisieren wie Woodin ein Axiom V=Ultimate L (in dem CH gilt), andere favoritisieren die Hinzunahme von Forcing-Axiomen (wie Martin´s Maximum), mit denen viele verschiedene mengentheoretische Modelle konstruiert werden können, in denen CH nicht gilt.[6]

1991 zeigte er mit Matthew Foreman, dass die verallgemeinerte Kontinuumshypothese für jede unendliche Kardinalzahl falsch sein kann (Konsistenz mit den ZF Axiomen).

2010 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Hyderabad (Strong axioms of infinity and the search for V). 1986 war er Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Berkeley (The two faces of infinity).

Sy Friedman (links), Hugh Woodin, Menachem Magidor (rechts), Oberwolfach 2005

Woodin ist der Urenkel des ehemaligen US-Finanzministers William Hartman Woodin.

Schriften[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. John Steel What is a Woodin Cardinal?, Notices AMS 2007, pdf Datei
  2. Nach der Laudatio für den Beweis, dass aus der Existenz einer superkompakten Kardinalzahl die Gültigkeit des Determiniertheitsaxioms im kleinsten transitiven Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, das die reellen Zahlen und alle Ordinalzahlen umfasst, folgt.
  3. Über Gödels Ansichten z.B. Martin Davis, Review von Gödel Biographien von Dawson und Casti/DePauli, Notices AMS 2001, pdf Datei
  4. Richard Elwes: Ultimate logic. New Scientist, 30. Juli 2011, S. 30–33
  5. Woodin Suitable extender models I, Journal of Mathematical Logic, Band 10, 2010, S. 101, Abstract
  6. Nathalie Wolchover To settle infinity dispute a new law of logic, Quanta Magazine, 2013, Simons Foundation