Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer $\mathbb{N}_{0}$-wertigen Zufallsvariable X definiert durch

$m_X(t):=\operatorname E\left[t^{X}\right]=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n} P[X=n]$ für $t \in [0,1]$.

Eigenschaften

• Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmt die Verteilung von X eindeutig:

Ist m_X(t) = m_Y(t) für alle $t \in [0,c]$ und $c \in (0,1]$, dann folgt P[X = k] = P[Y = k] für alle $k \in \mathbb{N}_0$.

Des Weiteren gilt für eine $\mathbb{N}_{0}$-wertige Zufallsvariable X für alle $k \in \mathbb{N}_0$

$P\left[ X = k \right] = \dfrac{ m_{X}^{(k)} (0) }{k!},$

das heißt, sie erzeugt die Wahrscheinlichkeiten der Zufallsvariable.

• Sind die Zufallsvariablen $X_1 , \ldots , X_n$ unabhängige, $\mathbb{N}_{0}$-wertige Zufallsvariablen, dann gilt:

$m_{X_1 + \cdots + X_n} (t)= \prod_{k=1}^n m_{X_k} (t)$

• Für eine $\mathbb{N}_{0}$-wertige Zufallsvariablen X mit endlichem k. Moment, $k \in \mathbb{N}_0$, ist

$\operatorname E\left[ \binom{X}{k} \right] = \dfrac{ m_{X}^{(k)} (1) }{k!}\,.$

Damit lassen sich die Erwartungswerte und Varianzen von $\mathbb{N}_{0}$-wertigen Zufallsgrößen ermitteln:

$\operatorname{E}\left[X \right] = m_X ' (1)\,,$

$\operatorname{Var} \left[ X \right] = \operatorname E\left[X(X-1)\right] + \operatorname E\left[X \right] - \operatorname E\left[X \right]^2 = m_X '' (1) + m_X ' (1) - m_X ' (1)^2\,.$

Siehe auch

• Momenterzeugende Funktion
• Erzeugende Funktion
• Charakteristische Funktion (Stochastik)