Wallissches Produkt

Das wallissche Produkt, auch Wallis-Produkt, ist eine Produktdarstellung der Kreiszahl π, das heißt es handelt sich um ein Produkt mit unendlich vielen Faktoren, dessen Grenzwert π ist. Es wurde 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis entdeckt.

Formel

Üblich ist die Darstellung des Produktes in der Form:

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots$

Über eine Umformung ergibt sich die Kurzschreibweise des Wallisproduktes wie folgt:

$\frac{\pi}{2}= \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \right) \cdot \left( \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \right) \cdot\ \dots = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)} = \prod_{i=1}^\infty \frac{4 \, i^2}{4 \, i^2 - 1} = \prod_{i=1}^\infty\left(1+\frac{1}{4i^2-1}\right)$

Für den Kehrwert folgt:

$\frac 2{\pi} =\prod_{i=1}^\infty \bigg(1- \frac1{4 \, i^2}\bigg)$

Die Konvergenz dieses Produktes folgt aus der Konvergenz der unendlichen Reihe

$\sum_{i=1}^\infty \frac{-1}{4 \, i^2}$ bzw. $\sum_{i=1}^\infty \frac1{i^2}$

Konvergenzgeschwindigkeit

N	2*Produkt	2*Produkt / Pi	relativer Fehler
1	2,7	0,85	15%
2	2,8	0,91	9%
3	2,9	0,93	7%
10	3,07	0,976	2,4%
100	3,134	0,9975	0,25%
1000	3,1408	0,99975	0,025%
10000	3,14151	0,999975	0,0025%
100000	3,141585	0,9999975	0,00025%
$\lim_{n\to\infty}$	3,14159265...	1	0%

Zur effizienten Berechnung einer Näherung von Pi ist die Formel nicht geeignet. Berechnet man etwa die ersten 5 Terme des Wallischen Produkts und verdoppelt das Ergebnis, so erhält man als Näherung für Pi:

$2\cdot \prod_{i=1}^{5} \frac{4 \cdot i^2}{4 \cdot i^2 - 1} \approx 3{,}002$

Mit dieser Näherung konnte nicht einmal die erste Nachkommastelle korrekt bestimmt werden.

Nach Ausmultiplizieren der ersten 50 Terme ergibt sich ein Quotient aus zwei 160-stelligen Zahlen, der aber für Pi nur die Näherung 3,126 liefert, also nicht einmal 2 Nachkommastellen korrekt angibt. Da 3,126/3,14159 = 0,9950 ist, ist der relative Fehler etwa 0,5%. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist langsamer als linear.

Die nebenstehende Tabelle gibt für einige ausgewählte Werte von N an, wie gut die Approximation von Pi ist, die man nach Ausmultiplizieren von N Termen im wallisschen Produkt erhält. Die Tabelle legt die Vermutung nahe, dass der Fehler nach Ausmultiplizieren von N Termen in etwa $\tfrac{25}{N}\%$ beträgt (z.B. nach 100 Termen: 0,25% = $\tfrac{1}{400}$).

Dies kann man auch durch folgende mathematische Überlegung beweisen: Der Quotient zwischen der Approximation und dem gewünschten Wert ist gleich dem unendlichen Produkt

$\prod_{i=N+1}^\infty \bigg(1- \frac1{4 \, i^2}\bigg)$

Mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen, der Abschätzung $\log(1+x) \approx x$ (für kleine x) sowie durch Approximation einer unendlichen Summe durch ein Integral sieht man, dass dieses Produkt ungefähr den folgenden Wert hat:

$e^{\int_N^\infty \log\bigg(1- \frac1{4 \, x^2}\bigg) \,dx} \approx e^{\int_N^\infty -\frac1{4 \, x^2}\,dx} \approx e^{-\frac1{4 \, N}} \approx 1-\frac1{4 \, N}$.

Damit die ersten beiden Nachkommastellen richtig sind, braucht man demzufolge eine Genauigkeit von ca 0,3% (3,13/3,14 = 0,997), also etwa N = 60. Für 3 Nachkommastellen braucht man N = 600, für 4 Nachkommastellen N = 6000 etc.

Beweisskizze

Man definiert $C_n(x) := \int_0^x \sin^n(t) dt$, für welche die Rekursionsformel (n + 1)C_{n + 1}(x) = − cos(x)sin ⁿ(x) + nC_{n − 1}(x) gilt. Insbesondere erhält man für c_n: = C_n(π / 2) die Formel $c_{n+1}=\frac{n}{n+1} c_{n-1}$.

Man berechnet $c_{2m} = \frac{\pi}{2} \frac{1}{4^m} \binom{2m}{m}$ und $c_{2m+1} = \frac{4^m}{2m+1} / \binom{2m}{m}$. Nun gilt $\frac{n}{n+1} = \frac{c_{n+1}}{c_n} \frac{c_n}{c_{n-1}} < \frac{c_{n+1}}{c_n} < 1$, und daher $1 < \frac{c_{2m}}{c_{2m+1}} = \pi (m+\frac{1}{2}) \binom{2m}{m}^2 4^{-2m} < 1+\frac{1}{2m}$.

Insbesondere also $\sqrt{\pi} = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{m}} \frac{2 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (2m)}{1 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot (2m-1)} = \lim_{m \to \infty} \frac{1}{\sqrt{m}} \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}$, aus der man durch quadrieren die übliche Formel erhält.

Literatur

• John Wallis: The arithmetic of infinitesimals (Übersetzung vom Latein ins Englische mit einem Vorwort von Jacqueline A. Stedall). 1. Auflage, Springer Verlag, Heidelberg, Berlin, New York 2004, ISBN 0-387-20709-0

Weblinks

 Wikibooks: Herleitung des Wallis-Produktes – Lern- und Lehrmaterialien