Wechselwirkungsbild

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Das Wechselwirkungsbild (auch als Wechselwirkungsdarstellung, Dirac-Bild oder Dirac-Darstellung bezeichnet) der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen.

Es wurde 1926 von Paul Dirac in die Quantenmechanik eingeführt.[1] In Zusammenhang mit Quantenelektrodynamik wurde das Wechselwirkungsbild auch von Tomonaga[2], Dirac[3] und (in einer unveröffentlichten Arbeit als Student am City College of New York) von Julian Schwinger (1934) eingeführt.[4] Die Behandlung der relativistischen Quantenfeldtheorie im Wechselwirkungsbild mit Zweiter Quantisierung fand danach Eingang in die Standardlehrbücher.

Im Wechselwirkungsbild gelten folgende Annahmen:

  • Der Hamilton-Operator des Systems ist gegeben durch \hat H=\hat H_0+\hat H_1, wobei \hat H_0=\operatorname{const} der zeitunabhängige Hamilton-Operator des ungestörten Systems ist und \hat H_1 die durch die Wechselwirkung verursachte Störung beschreibt, diese kann zeitabhängig sein. Es kann aber auch nützlich sein, ohne dass eine Wechselwirkung vorliegt, eine solche formale Aufspaltung des Hamiltonoperators herbeizuführen.
  • Zustände sind zeitabhängig: |\psi\rangle=|\psi(t)\rangle
  • Operatoren sind ebenfalls zeitabhängig: \hat A=\hat A(t)
  • Die Dynamik der Zustände wird beschrieben durch die angepasste Schrödinger-Gleichung, während die Dynamik der Operatoren durch die angepasste Heisenbergsche Bewegungsgleichung gegeben ist.
  • Nur bestimmte Rechnungen sind im Dirac-Bild einfacher durchzuführen. Als bestes Beispiel dient hier die Herleitung der zeitabhängigen Störungstheorie.

Zur Kennzeichnung, dass man das Wechselwirkungsbild verwendet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index „I“ (wie engl. interaction) oder „D“ (wie Dirac-Bild) versehen: |\psi_{\rm D}(t)\rangle bzw. \hat A_{\rm D}(t) \, .

Der Sinn dieses Bildes besteht darin, die zeitliche Entwicklung des Systems, die von \hat H_0 verursacht wird, in die zeitliche Abhängigkeit der Operatoren zu stecken, während die von \hat H_1 verursachte Zeitabhängigkeit in die Entwicklung des Zustandes eingeht. Dies ist jedoch nur ein anderes Bild und beschreibt „die gleiche Physik“, das heißt alle physikalisch relevanten Größen (Skalarprodukte, Eigenwerte usw.) bleiben die gleichen.


Es werden zwei Zeitentwicklungsoperatoren definiert:

\hat U(t,t_0)=\hat T\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \hat H(t^\prime)dt^\prime\right)\right]   mit dem Zeitordnungs-Operator \hat T
\hat U_0(t,t_0)=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)\right)


Der Erwartungswert a des Operators \hat A muss in allen Bildern gleich sein:

a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|\hat{A}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle
a=\langle \underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)}_{\psi _{\text{D}}(t)}|\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}_{0}(t,t_{0})}_{\hat{A}_{\text{D}}(t)}\,|\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)}_{\psi _{\text{D}}(t)}\rangle =\langle \psi _{\text{D}}(t)|\hat{A}_{\text{D}}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle

Der zeitabhängige Operator \hat A_{\rm D}(t) ist (wie im Heisenberg-Bild) gegeben durch:

\hat A_{\rm D}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U_0(t,t_0)={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,\hat A_{\rm S}(t)\,{\rm e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}

Der zeitabhängige Zustand |\psi_{\rm D}(t)\rangle kann nur indirekt – über die Reduktion des (im Schrödinger-Bild) vollständig die Dynamik beschreibenden Zustandes |\psi_{\rm S}(t)\rangle um den von \hat H_0 verursachten Anteil seiner Zeitentwicklung – definiert werden:

|\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle

Damit lässt sich der Operator \hat H_{1 \rm D}(t) definieren:

\hat H_{1 \rm D}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,\hat U_0(t,t_0) ={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,{\rm e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}

Der zeitlich unabhängige Anteil des Hamiltonoperators \hat H_0 ist im Wechselwirkungsbild identisch mit dem im Schrödinger-Bild:

\hat H_{0 \rm D}(t) = \hat H_{0 \rm S}


Die Dynamik der Zustände wird (ähnlich dem Schrödinger-Bild) beschrieben durch die Gleichung:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat H_{1 \rm D}(t)\,|\psi_{\rm D}(t)\rangle

Die Dynamik der Operatoren wird (wie im Heisenberg-Bild) beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, mit dem nicht zeitabhängigen Hamilton-Operator \hat H_0, der das ungestörte System beschreibt:

i\hbar\frac{{\rm d} \hat A_{\rm D}}{{\rm d}t}=\left[\hat A_{\rm D}(t),\hat H_0\right] +i\hbar\frac{\partial \hat A_{\rm D}}{\partial t}

Mit \hat H_{1 \rm S} = \hat H_{1 \rm D} = 0 geht das Dirac-Bild in das Heisenberg-Bild über.


Zum Zeitpunkt t_0 stimmen alle drei Bilder überein:

\hat{A}_{\text{D}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{H}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{S}}(t_{0})
|\psi _{\text{D}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{H}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{S}}(t_{0})\rangle

Herleitung der Bewegungsgleichungen[Bearbeiten]

Zur Vorbereitung werden die zeitlichen Ableitungen von \hat U_0 und \hat U_0^{\dagger} ermittelt:


\begin{align}
&\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=-\frac{i}{\hbar }\hat{U}_{0}(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}_{0}(t,t_{0})\\
&\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( \frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=\frac{i}{\hbar }\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})
\end{align}

Bewegungsgleichung für die Zustände:


\begin{align}
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}|\psi _{\text{D}}(t)\rangle &=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}) \right)}_{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})(-\hat{H}_{0})}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle +\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\underbrace{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle  \right)}_{(\hat{H}_{0}+\hat{H}_{1 \rm S})|\psi _{\text{S}}(t)\rangle } \\
&=\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\hat{U}_{0}(t,t_{0})}_{\hat{H}_{1 \rm D}(t)}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }_{|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }=\hat{H}_{1D}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle
\end{align}

Bewegungsgleichung für die Operatoren:


\begin{align}
i\hbar \frac{\text{d}\hat{A}_{\text{D}}}{\text{d}t}&=i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0} \right)=\underbrace{\left( i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\hat{U}_{0}^{\dagger }\, \right)}_{-\hat{H}_{0}\hat{U}_{0}^{\dagger }}\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}+\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\underbrace{\left( i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\,\hat{U}_{0} \right)}_{\hat{U}_{0}\hat{H}_{0}}+i\hbar \underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\left( \frac{\partial }{\partial t}\hat{A}_{\text{S}} \right)\,\hat{U}_{0}}_{\frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}} \\
&=-\hat{H}_{0}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}+\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}\hat{H}_{0}+i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}=\left[ \hat{A}_{\text{D}},\hat{H}_{0} \right]+i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}
\end{align}

Literatur[Bearbeiten]

  • Nolting: Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik. Springer, Berlin
  • Cohen-Tannoudji: Quantenmechanik 1/2. de Gruyter, Berlin

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Dirac On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy. Soc. A 112, 1926, 661; er verwendete es auch in Dirac The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc. Roy. Soc. A 114, 1927, 243. Historische Angaben nach der Darstellung in Charles Enz Not time to be brief. A scientific biography of Wolfgang Pauli, Oxford University Press 2002, S. 176
  2. Tomonaga On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields, Progress of Theoretical Physics, 1, 1946, 27
  3. Dirac, Wladimir Fock, Boris Podolsky On Quantum Electrodynamics, Phys. Z. Sowjetunion, 2, 1932, 468
  4. Mehra, Milton Climbing the Mountain. The Scientific Biography of Julian Schwinger, Oxford University Press 2000, S. 14. Er verwendete sie später in seinen ersten veröffentlichten Arbeiten über Quantenfeldtheorie (angefangen mit Schwinger Quantum Electrodynamics I, Physical Review, 74, 1948, 1439)