Wedge-Produkt (Topologie)

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Dieser Artikel behandelt das Wedge-Produkt von topologischen Räumen. Als Wedge-Produkt bezeichnet man auch das Dach- oder Keilprodukt bei einer Graßmann-Algebra
Wedge-Produkt zweier Kreise

Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) X\vee Y zweier punktierter topologischer Räume X und Y bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:

X\vee Y = (X\coprod Y)/(pt\coprod pt)

Hierbei bezeichnet pt den jeweiligen Basispunkt.

Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:

\bigvee_{i\in I}X_i = (\coprod_{i\in I}X_i)/(\coprod_{i\in I} pt_i)

Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.

Rolle in der algebraischen Topologie[Bearbeiten]

Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal-kontrahierbare Räume X_i

\pi_1(\bigvee_{i\in I}X_i) = *_{i\in I} \pi_1(X_i),

wobei * das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.

In der singulären Homologie gilt:

H_n(\bigvee_{i\in I}X_i,pt) = \bigoplus_{i\in I} H_n(X_i, pt)

Man kann das Wedge-Produkt X\vee Y auf naheliegende Weise in das Produkt X\times Y einbetten, der Quotient

X\wedge Y:= X\times Y/X\vee Y

ist das Smash-Produkt.

Insbesondere ist \Sigma X:=S^1\wedge X die reduzierte Einhängung, von Bedeutung in der stabilen Homotopietheorie.

Das Wedge-Produkt wird auch in der Definition der Verknüpfung in den Homotopiegruppen verwendet.