Wellengleichung

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Die homogene Wellengleichung ist die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

  \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right)  = 0

für eine reelle oder komplexe Funktion u(t,x_1,\dots, x_n) und einen Parameter c > 0. Sie heißt auch d'Alembert-Gleichung und zählt zu den hyperbolischen Differentialgleichungen.

Mit Hilfe des d’Alembert-Operators \square = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta, wobei \Delta den Laplace-Operator bezeichnet, wird die Gleichung kurz als

\square u = 0

notiert.

Die Substitution t'=c\,t absorbiert den Faktor c^2 in der Wellengleichung, sie hat dann die Form wie für c=1 (siehe auch natürliche Einheiten).

Die Lösungen der Wellengleichung heißen auch Wellen. Diese überlagern sich ohne gegenseitige Beeinflussung und breiten sich unabhängig von eventuell vorhandenen weiteren Wellen aus. Da die Koeffizienten der Wellengleichung nicht vom Ort oder der Zeit abhängen, verhalten sich Wellen unabhängig davon, wo oder wann man sie anregt. Verschobene oder verspätete Wellen sind daher ebenfalls Lösungen der Wellengleichung.

Unter der inhomogenen Wellengleichung versteht man die linear inhomogene partielle Differentialgleichung

 \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}- \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) = v(t,x_1\dots  x_n)\,.

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer räumlichen Dimension[Bearbeiten]

Stehende Welle als Überlagerung einer nach rechts laufenden Welle und einer nach links laufenden

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension

\frac 1{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0

hat die allgemeine Lösung

u\left(t, x\right) = f(x + ct) + g(x - ct)

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x)\, und g(x)\,. Dabei ist der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links und der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts mit unveränderter Form laufende Welle. Die Funktionen f(x)\, und g(x)\, werden auch Riemann-Invarianten genannt.

Die Funktionen f und g lassen sich als Linearkombination von Kosinus-Funktionen

 \cos(k x - \omega t + \varphi)

oder von komplexen Exponentialfunktionen

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x - \omega t)}\,

schreiben:

u(t,x)=\text{Re}\int\mathrm d k\,a(k)\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\, x -\omega\,t)}

Dabei hängt die Frequenz durch

\omega = |k|\,c

mit der Wellenzahl |k|\, zusammen. Die Phase \varphi{(k)} steckt dabei in der komplexen Amplitude a(k).

Lösung mit vorgegebenen Anfangswerten[Bearbeiten]

Sei also u\left(t,x\right) = f(x + ct) + g(x - ct) die allgemeine Lösung der Wellengleichung und u\left(0,x\right)=\phi (x) sowie \tfrac{\partial u}{\partial t} \left(0,x\right)=u_t(0,x)=\psi (x) zwei Anfangsbedingungen, dann folgt:

\phi(x)=u\left(0,x\right)=f(x)+g(x)
\psi(x)=u_t\left(0,x\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)

Integration der zweiten Gleichung ergibt:

f(x)-g(x)=\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi,

Durch Auflösen erhält man:

f(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)
g(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int_x^{x_0} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

Die Lösung der Wellengleichung unter den obigen Anfangsbedingungen lautet demnach:

u(t,x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x+ct)+\phi(x-ct)+\frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

Die Wellengleichung in drei räumlichen Dimensionen[Bearbeiten]

Zweidimensionale Darstellung einer Kugelwelle

Auch in mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung der Wellengleichung als Linearkombination von ebenen Wellen

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)}\ \text{mit}\ 
\omega = \left|\mathbf k\right| c

schreiben. Solch eine ebene Welle bewegt sich mit Geschwindigkeit c in Richtung von \mathbf k. Bei der allgemeinen Lösung

u(t,\mathbf x)=\text{Re}\int\mathrm d^n k\,a(\mathbf{k})\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k\, \mathbf x -|\mathbf{k}|\,c\, t)}

ist allerdings nicht offensichtlich, wie ihre Anfangswerte mit der Lösung später zusammenhängen.

In drei Raumdimensionen lässt sich die Lösung der Wellengleichung durch Mittelwerte der Anfangswerte darstellen. Sei die Funktion u(t,\mathbf x) und ihre Zeitableitung zur Anfangszeit t=0 durch Funktionen \phi und \psi gegeben,

u(0,\mathbf x)=\phi(\mathbf x)\,,\ 
\frac \partial {\partial t} u(0,\mathbf x)=\psi(\mathbf x)\,,

dann ist, wenn wir einfachheitshalber c=1 wählen, die Linearkombination von Mittelwerten

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])

die zugehörige Lösung der Wellengleichung. Dabei bezeichnet


M_{t,\mathbf x}[\chi]=\frac{1}{4\,\pi}
\int_{-1}^{1}\!\!\mathrm d \cos\theta \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm d \varphi\, 
\chi(\mathbf x + t\mathbf n(\theta, \varphi))\quad \text{mit}\quad 
\mathbf n(\theta, \varphi)=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta
\end{pmatrix}

den Mittelwert der Funktion \chi\,, gemittelt über eine Kugelschale um den Punkt \mathbf x mit Radius |t|\!\,. Insbesondere ist M_{0,\mathbf x}[\chi]=\chi(\mathbf x)\!\,.

Wie diese Darstellung der Lösung durch die Anfangswerte zeigt, hängt die Lösung stetig von den Anfangswerten ab und hängt zur Zeit t am Ort \mathbf x nur von den Anfangswerten an den Orten \mathbf y ab, von denen man \mathbf x in der Laufzeit |t| mit Lichtgeschwindigkeit c=1 erreichen kann. Sie genügt damit dem Huygensschen Prinzip. In einer Raumdimension und in geraden Raumdimensionen gilt dieses Prinzip nicht. Dort hängen die Lösungen zur Zeit t auch von Anfangswerten an Punkten \mathbf y ab, von denen aus man \mathbf x mit langsamerer Geschwindigkeit erreicht.

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])
+\frac{1}{4\pi}\int_{|\mathbf z| \le |t|}\!\!\mathrm d^3 z \,
\frac{v( t - \text{sign}(t)|\mathbf z|,\mathbf x + \mathbf z)}{|\mathbf z|}

hängt am Ort \mathbf x zur Zeit t>0 nur von der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von \mathbf x ab. Die Inhomogenität und die Anfangswerte wirken sich auf die Lösung mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]