Widerstandsmoment

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Als Widerstandsmoment wird in der technischen Mechanik eine aus der Form und Maßen der Querschnittsfläche eines Balkens abgeleitete Größe bezeichnet. Er ist ein Maß dafür, welcher vom Querschnitt abhängige Widerstand in einem belasteten Balken der Entstehung innerer Spannungen entgegengesetzt wird.

Bei den Belastungen Biegen und Verwinden (Torsion) wird vom axialen Widerstandsmoment (oder Biegewiderstandsmoment) beziehungsweise vom polaren Widerstandsmoment (oder Torsionswiderstandsmoment) gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit seinem Flächenträgheitsmoment. Beide Größen sind in Abhängigkeit von den typischen Längenmaßen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z.B. Stahlprofile) in allgemeinen technischen Handbüchern, oft in gemeinsamen Tabellen enthalten. Bei der Querschnitts-Bemessung eines Balkens werden Verformung und Spannungen untersucht. Die Verformung wird u. a. mit Hilfe des Flächenträgheitsmomentes berechnet und mit der anwendungsspezifisch zulässigen Verformung verglichen. Die Spannungen werden mit dessen Erweiterung zum Widerstandsmoment ermittelt und in Relation zu den vom Werkstoff erträglichen Spannungen gesetzt.

Grundlagen[Bearbeiten]

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper, sofern ein Hebel vorhanden, um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch Einspannung verhindert, entsteht ein Biege- oder Torsionsmoment. Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet.

Berechnung aus den Flächenträgheitsmomenten[Bearbeiten]

Das Widerstandmoment ergibt sich allein aus der Geometrie der Querschnittsfläche.
Zu seiner Ermittlung muss die Lage der neutralen Faser im Querschnitt bekannt sein. Dies ist die Linie, in der bei reiner Biegung weder Druck- noch Zugspannungen auftreten (gestrichelte Mittellinien 1 und 2 im Bild). Von dieser Linie muss der maximale senkrechte Abstand zum Querschnittsrand und damit zur Randfaser bestimmt werden, wo die gesuchten maximalen Spannungen/Bauteilbeanspruchungen auftreten.
Das Widerstandmoment ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand der Randfaser von der neutralen (spannungsfreien) Faser:

W = \frac{I}{a_{max} };      [W] = m3

mit:

I: axiales, biaxiales oder polares Flächenmoment 2. Grades (Flächenträgheitsmoment)
a_{max}: größter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

Anwendung[Bearbeiten]

Die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt man für Momente um die Bezugsachse durch:

\sigma_{max} = \frac{M_b}{W_{ax}}  , \qquad \tau_{max} = \frac{M_t}{W_{p}}
\sigma_{max}: Maximale Normalspannung
\tau_{max}: Tangentialspannung (Schubspannung)
M_{b}: Biegemoment
M_{t}: Torsionsmoment
W_{ax}: axiales Widerstandsmoment
W_{p}: polares Widerstandsmoment

Beispiele (axiales Widerstandsmoment)[Bearbeiten]

Rechteck und Kreis
Für ein Rechteck mit der Breite b parallel zur y-Achse und der Höhe h ist das Widerstandsmoment bezüglich der Horizontalachse
W_{y} = {b*h^2 \over 6}
Für dasselbe Rechteck ist das Widerstandsmoment bezüglich der Vertikalachse
W_{z} = {h*b^2 \over 6}
für ein Quadrat mit der Seitenlänge a = b = h vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu
 W_{y}=W_{z} = {a^3 \over 6}

Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch keinerlei praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte völlig anderen Gesetzen unterliegt.

Für einen Kreis mit Durchmesser D
W_{ax} = {\pi \over 32} D^3
W_{p} =  {2 \cdot{\pi \over 32}} D^3 = {\pi \over 16} D^3


Kreisring
Für einen Kreisring mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d ist das Widerstandsmoment
W_{ax} = {\pi \over 32}\cdot {(D^4 - d^4) \over D}
W_{p} =  {2 \cdot{\pi \over 32}}\cdot {(D^4 - d^4) \over D} = {\pi \over 16}\cdot {(D^4 - d^4) \over D}


Trapez
Für ein Trapez mit der Basis B parallel zur y-Achse und der Höhe h
W_{o} = {h^2(B^2+4Bb+b^2) \over 12(2B+b)} = W_{min}
W_{u} = {h^2(B^2+4Bb+b^2) \over 12(B+2b)}


Rechteckrohr
  • Hohlprofil (Rechteckrohr)
Für ein Rechteckrohr (Vierkantrohr) mit der Außenbreite/-Höhe B und H, der Innenbreite b und h und der Wandstärke t
Das Profil muss symmetrisch sein, d.h. die gegenüberliegenden Wandstärken müssen gleich groß sein
W_{y} = {BH^3-bh^3 \over 6H}
W_{z} = {B^3H-b^3h \over 6B}
W_{p} = {t(H+h)(B+b) \over 2}

Siehe auch[Bearbeiten]