Widerstandsmoment

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Als Widerstandsmoment W wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe bezeichnet. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt.

Bei der Belastung Biegen wird vom axialen oder Biegewiderstandsmoment W_{\mathrm{ax}} gesprochen, beim Verwinden (Torsion) vom polaren oder Torsionswiderstandsmoment W_{\mathrm{p}}.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment, mit dessen Hilfe bei der Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung berechnet wird (siehe auch Steifigkeit). Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind, in Abhängigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten, oft in gemeinsamen Tabellen.

Grundlagen[Bearbeiten]

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper biegen bzw. - sofern ein Hebel vorhanden - um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch Einspannung verhindert, entsteht ein Biege- oder Torsionsmoment. Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet.

Berechnung[Bearbeiten]

Das Widerstandsmoment ist definiert als:

W = \frac{I}{a_{\mathrm{max}}}

mit

Die Einheit des Widerstandsmoments ist m3.

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

Anwendung[Bearbeiten]

Die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt man durch:

\sigma_{\mathrm{max}} = \frac{M_b}{W_{ax}} = M_b \cdot \frac{a_{\mathrm{max}}}{I_{ax}}

mit

  • \sigma_{\mathrm{max}}: maximale Normalspannung
  • M_{b}: Biegemoment um die Bezugsachse
  • I_{ax}: axiales Flächenträgheitsmoment.

und durch:

\tau_{\mathrm{max}} = \frac{M_t}{W_{p}} = M_t \cdot \frac{a_{\mathrm{max}}}{I_{p}}

mit

Die so ermittelten maximal auftretenden Spannungen werden mit den vom Werkstoff erträglichen Spannungen (Festigkeit) verglichen, um zu überprüfen, ob der Balken versagt.

Beispiele (axiales Widerstandsmoment)[Bearbeiten]

Rechteck und Kreis
Für ein Rechteck mit der Breite b parallel zur y-Achse und der Höhe h ist das Widerstandsmoment bezüglich der Horizontalachse
W_{y} = \frac{b \cdot h^2}{6}
Für dasselbe Rechteck ist das Widerstandsmoment bezüglich der Vertikalachse
W_{z} = \frac{h \cdot b^2}{6}
für ein Quadrat mit der Seitenlänge a = b = h vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu
 W_{y}=W_{z} = \frac{a^3}{6}

Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch keinerlei praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte völlig anderen Gesetzen unterliegt.

Für einen Kreis mit Durchmesser D
W_{ax} = \frac{\pi}{32} D^3
W_{p} =  2 \cdot \frac{\pi}{32} D^3 = \frac{\pi}{16} D^3


Kreisring
Für einen Kreisring mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d ist das Widerstandsmoment
W_{ax} = \frac{\pi}{32}\cdot \frac{(D^4 - d^4)}{D}
W_{p} =  2 \cdot \frac{\pi}{32} \cdot \frac{(D^4 - d^4)}{D} = \frac{\pi}{16} \cdot \frac{(D^4 - d^4)}{D}


Trapez
Für ein Trapez mit der Basis B parallel zur y-Achse und der Höhe h
W_{o} = \frac{h^2(B^2+4Bb+b^2)}{12(2B+b)} = W_{\mathrm{min}}
W_{u} = \frac{h^2(B^2+4Bb+b^2)}{12(B+2b)}


Rechteckrohr
  • Hohlprofil (Rechteckrohr)
Für ein Rechteckrohr (Vierkantrohr) mit der Außenbreite/-Höhe B und H, der Innenbreite b und h und der Wandstärke t
Das Profil muss symmetrisch sein, d. h. die gegenüberliegenden Wandstärken müssen gleich groß sein
W_{y} = \frac{BH^3-bh^3}{6H}
W_{z} = \frac{B^3H-b^3h}{6B}
W_{p} = \frac{t(H+h)(B+b)}{2}

Siehe auch[Bearbeiten]