Widerstandsmoment

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Das Widerstandsmoment ist in der technischen Mechanik ein gebräuchliches Maß für den Widerstand, den ein Balken mit gegebenem Querschnitt einem Biegemoment entgegensetzt. Es ergibt sich allein aus der Geometrie der Querschnittsfläche und ist der Quotient aus Flächenträgheitsmoment und dem Abstand der Randfaser zur neutralen (also der nicht durch die Biegung beanspruchten) Faser. Durch Kenntnis des Widerstandsmoments kann im Rahmen der Balkentheorie erster Ordnung unmittelbar die maximale Biegespannung im Querschnitt errechnet werden. Angaben von Widerstandsmomenten sind u.a. üblich in Tabellen von Stahlprofilen und anderen Trägern, Balken und Profilen.

[Bearbeiten] Grundlagen

[Bearbeiten] Beziehung zu den Flächenmomenten 2. Grades

Zur Ermittlung des axialen Widerstandsmoments muss die Lage der neutralen Faser im Querschnitt bekannt sein. Dieses ist die Linie, in der bei reiner Biegung der Nulldurchgang zwischen Zug- und Druckspannung liegt. Von dieser Linie muss der maximale senkrechte Abstand zum Querschnittsrand und damit zur Randfaser bestimmt werden. Das Widerstandsmoment ergibt sich dann mit

$W = \frac{I}{a_{max} }$

W = Widerstandsmoment in [

m 3

]

I = axiales, biaxiales oder polares Flächenmoment 2. Grades (Flächenträgheitsmoment) in [

m 4

]

$a m a x$ = größter Abstand der Randfaser zur neutralen Faser [m]

Nur für doppeltsymmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente jeweils für obere und untere Randfaser (bei vertikaler Biegung) oder linke und rechte Randfaser (bei horizontaler Biegung) identisch.

[Bearbeiten] Arten der Widerstandsmomente

Beanspruchung und Wirkung der Flächenmomente 2. Grades

Wie die Flächenmomente 2. Grades kann man auch die Widerstandsmomente in drei Arten aufteilen:

Das axiale Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand der Randfaser gegen eine Biegebeanspruchung (Balken 1, 2 im Bild).
Das polare Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand der Randfaser gegen Torsion (Balken 4 im Bild).

Die gestrichelten Mittellinien in Bild (1, 2) geben die Lage der neutralen Faser wieder.

[Bearbeiten] Anwendung des Widerstandsmomentes

Hilfreich ist das Widerstandsmoment im Ingenieurwesen um im Rahmen von statischen Berechnungen innerhalb der Elastizitätstheorie die maximale Biege- oder Torsionsbeanspruchbarkeit von Bauteilen auf schnellem Wege abschätzen zu können. Mit seiner Hilfe berechnet man die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen:

$\sigma_{max} = \frac{M_b}{W_{ax}} , \qquad \tau_{max} = \frac{M_t}{W_{p}}$

σ m a x

,

τ m a x

= Maximale Normal- oder Tangentialspannung in [ $\frac{N}{m^2}$ ]

$M b$ , $M t$ = Biegemoment oder Torsionsmoment in [ $N \cdot m$ ]

$W a x$ , $W p$ = Axiales oder polares Widerstandsmoment in [

m 3

]

Die errechneten Zug- und Druckspannungen (bei Biegung) bzw. Schubspannungen (bei Torsion) sind gleichzeitig die maximalen Spannungen im Querschnitt.

[Bearbeiten] Beispiele (axiales Widerstandsmoment)

Rechteck

Für ein Rechteck mit der Breite b parallel zur y-Achse und der Höhe h ist das Widerstandsmoment

$W_{y} = {bh^2 \over 6}$

Für dasselbe Rechteck um 90° gedreht ist das Widerstandsmoment

$W_{z} = {b^2h \over 6}$

Quadrat

für ein Quadrat mit der Seitenlänge a = b = h vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu

$W_{y}=W_{z} = {a^3 \over 6}$

Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch keinerlei praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte völlig anderen Gesetzen unterliegt.