Wieferich-Primzahl

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Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl p mit der Eigenschaft, dass 2p−1 − 1 durch p2 teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}.

Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.[1]

Bekannte Wieferich-Primzahlen[Bearbeiten]

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913)[2] und 3511 (Beeger 1922).[3] Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 1015 untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht.[4] Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist,[5] als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen x und y etwa \log(\log(y)/\log(x)) Wieferich-Primzahlen liegen.[6] Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.[7]

Verwandtschaft mit dem großen fermatschen Satz[Bearbeiten]

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:[1]

Wenn xp + yp + zp = 0, wobei x, y und z ganze Zahlen sind, p eine Primzahl ist und das Produkt x·y·z nicht teilbar durch p, dann ist p eine Wieferich-Primzahl, also 2p−1 − 1 durch p2 teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch 3p−1 − 1 durch p2 teilbar ist.[8] Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind p=11 und p=1006003 (Kloss 1965).[9]

Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen[Bearbeiten]

  • Aus der Wieferich-Primzahl w kann die Mersenne-Zahl Mn = Mw−1 = 2w−1 −1 als Produkt Mw−1 = k·w2 konstruiert werden.
n = w−1 ist somit (trivialerweise, da n geradzahlig) nicht prim, und Mn keine Mersenne-Primzahl.
  • Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen Mp < Mw−1 (mit primen Exponenten p) gibt, die durch w2 teilbar sind. Dabei muss p ein Teiler von w−1 sein, wenn Mp durch w teilbar sein soll.
Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:
Da w−1 nicht prim ist, handelt es sich bei 2w−1−1 nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl 2p−1 mit p=(w−1)/x geben, die durch w2 teilbar ist; d.h. dass die Länge g(w) der multiplikativen zyklischen Subgruppe von w zur Basis 2 prim sein müsste.
Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen g(1093) = 364 = 4·7·13 und g(3511)=1755 = 33·5·13 nicht prim.
Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen 2p−1 sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".[10]
  • Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.
Bspw. ist zur Basis 3 mit (35−1)/(3−1) = 112 die Bedingung w2 teilt 3p−1 (w,p prim) erfüllt.
Zur Basis 2819 tritt w=19 bei 28193−1 = x·194 das Wieferich-analog w=19 sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.
  • Für eine Wieferich-Primzahl p gilt:
2^{p^2} \equiv 2 \pmod{p^2}.
  • Mit 2n ≡ 1 (mod p) tritt stets gleichzeitig 2n ≡ 1 (mod p2) auf.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Arthur Wieferich: Zum letzten Fermatschen Theorem, Journal für die reine und angewandte Mathematik 136, 1909, S. 293–302
  2. Waldemar Meißner: Über die Teilbarkeit von 2p−2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 10. Juli 1913, S. 663–667
  3. N. G. W. H. Beeger: On a new case of the congruence 2p−1 ≡ 1 (mod p2), Messenger of Mathematics 51, 1922, S. 149–150 (englisch)
  4. François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 1015, Journal of Integer Sequences 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)
  5. Wieferich prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
  6. Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes, Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  7. Joseph H. Silverman: Wieferich’s criterion and the abc-conjecture, Journal of Number Theory 30, Oktober 1988, S. 226–237 (englisch)
  8. D. Mirimanoff: Sur le dernier théorème de Fermat, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences 150, 1910, S. 204–206; erweiterte Version: Sur le dernier théorème de Fermat, Journal für die reine und angewandte Mathematik 139, 1911, S. 309–324 (französisch)
  9. K. E. Kloss: Some number-theoretic calculations, Journal of Research of the National Bureau of Standards 69B, Oktober–Dezember 1965, S. 335–336 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  10. Eric W. Weisstein: Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).

Literatur[Bearbeiten]

  • Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch), (aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes, Springer, New York 2004)

Weblinks[Bearbeiten]