Willmore-Energie

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Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition[Bearbeiten]

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche \Sigma\subset \mathbb R^3 mit mittlerer Krümmung H:\Sigma\rightarrow\mathbb R definiert man die Willmore-Energie

W(\Sigma)=\int_{\Sigma} H^2 dA.

Motivation[Bearbeiten]

Minimalflächen im \mathbb R^3 sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: H\equiv 0.

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im \mathbb R^3 keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante[Bearbeiten]

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

\int_{\Sigma} H^2 - K dA

mit der Gauß-Krümmung K:\Sigma\rightarrow\mathbb R definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

\int_{\Sigma} K dA = 2\pi\chi(\Sigma) = 4\pi(1-g)

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche \Sigma abhängende) Konstante.

Sphären[Bearbeiten]

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius r hat Willmore-Energie W(S^2(r))=4\pi. Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als 4\pi ist.[1]

Tori[Bearbeiten]

Clifford-Tori haben Willmore-Energie W(T)=2\pi^2.

Thomas Willmore vermutete 1965[2], dass für jede Fläche vom Geschlecht \ge 1 die Ungleichung

W(\Sigma)\ge 2\pi^2

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt.[3]

Immersionen[Bearbeiten]

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen f:\Sigma\rightarrow\mathbb R^3 definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens 8\pi ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens 18\pi, das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Literatur[Bearbeiten]

  1. Die Willmore-Vermutung nach Marques und Neves
  2. T.J.Willmore: Note on embedded surfaces An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi, N. Ser., Sect. Ia 11B, 493-496 (1965)
  3. Fernando Codá Marques, André Neves: Min-Max theory and the Willmore conjecture

Weblinks[Bearbeiten]