Wilson-Loop

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Der Wilson-Loop (oder Wilson Line) ist ein Erwartungswert eines Operators in Eichtheorien, der zur Unterscheidung der unterschiedlicher Phasen der Theorie dient. Er ist nach dem Nobelpreisträger Kenneth Wilson, einem der Pioniere der Gittereichtheorien, benannt.

Der Wilson Loop wird als eichinvarianter Erwartungswert eines Phasenfaktors definiert, bei der die Feldvariablen der Eichtheorie, die (Vierer-)Vektorpotentiale A_\mu mit Werten in der zugrundeliegenden Lie-Gruppe G der Eichtheorie, längs eines geschlossenen Weges (englisch Loop) miteinander multipliziert werden:

W_C = \mathrm{Tr}\,\left\{ \mathcal{P}\exp i \oint_C A_\mu dx^\mu\right\}

Dabei bezeichnet C den geschlossenen Weg und \mathcal{P}, dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist. Tr (englisch Trace) steht für die Spur bezüglich der Eichgruppe G. Wegen der zyklischen Invarianz dieser Spur ist der Operator eichinvariant.

Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen Ordnungsparameter für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden. In der Quantenchromodynamik beispielsweise (betrachtet als Quantenfeldtheorie auf einem Gitter bei endlicher Temperatur) dienen sie zur Unterscheidung von Confinement und Deconfinement-Phasen, je nachdem ob sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension flächenhaft (proportional zur umschlossenen Fläche, sog. "area law", Confinement) oder linear verhält (proportional zum Umfang der Schleife C, sog. "circumferential law"). Den ersten Fall (Area Law) kann man sich anschaulich als Folge der additiven Beiträge vieler farbelektrischer confinement-Flusstuben vorstellen. Er zeigt ein Verhalten der linearen Zunahme des zugehörigen Potentials mit dem Abstand, ähnlich wie zum Beispiel im elastischen Verhalten eines Gummibandes. Im zweiten Fall gibt es keine solchen Fluss-Beiträge durch die Schleife bzw. sie heben sich im Mittel auf, es liegt ein Abstandsverhalten des zugehörigen Potentials umgekehrt proportional zum Abstand vor wie in der Elektrodynamik vor (Coulombphase). Die Wilson-Loops werden dabei über geschlossene Kurven in der Raum-Zeit gebildet, wobei die Zeit imaginär angenommen wird, so dass sich ein euklidischer Formalismus ähnlich zur statistischen Mechanik, nur in 4 Dimensionen, ergibt (wobei die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit ist und periodische Randbedingungen angenommen werden). Die geschlossenen Kurven werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt, es werden aber auch rein räumliche Schleifen betrachtet. Im ersten Fall entsprechen die Wilson-Loops im Kontinuum-Limes des Gitters der Berechnung des Quark-Antiquark Potentials.

In der Elektrodynamik ist \oint_C A_\mu dx^\mu identisch mit dem magnetischen Fluss durch die Schleife C, falls diese räumlich ist, wie sich durch Anwendung des Satzes von Stokes ergibt.

Wilson-Loops werden auch in der Stringtheorie betrachtet, wo sich auch die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen ergibt, je nach deren Topologie. In der Loop-Quantengravitation von Ashtekar spielen sie eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer quantisierten Gravitationstheorie. Dort wird ein Paralleltransport eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson-Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist (Faserbündel mit zugehörigen, den Paralleltransport beschreibenden Zusammenhangsformen ("connections"), die im Fall der Eichtheorien mit den Eichfeldern identisch sind). Seit den 1990er Jahren wird in der Quantengravitation zunehmend der Formalismus der Spin-Netzwerke verwendet.