Wilson-Primzahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen p, für die gilt, dass (p-1)! + 1 durch p^2 teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Definition[Bearbeiten]

Zur Notation siehe → Fakultät, → Teilbarkeit und → Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass (p-1)! + 1 genau dann durch p teilbar ist, wenn p eine Primzahl ist. Für jede Primzahl p gilt also:

p \mid (p-1)! + 1

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

(p-1)!\equiv-1\pmod p

oder

(p-1)! + 1 \equiv 0 \pmod p


Das ganzzahlige Ergebnis der Division

\frac{(p-1)! + 1}{p}

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient W(p) bezeichnet[1] (Folge A007619 in OEIS).


Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl p, die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Beispiel[Bearbeiten]

Die Zahl p=13 ist ein Teiler von (p-1)! + 1:


\frac{(13-1)! + 1}{13} = \frac{479.001.600 + 1}{13} = 36.846.277


Also ist 13 eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 : 13 = 2.834.329), ist sie eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl p genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

p^2 \mid (p-1)! + 1

Beziehungsweise:

(p-1)!\equiv-1\pmod{p^2}

oder

\frac{(p-1)! + 1}{p} = W(p) \equiv 0 \pmod p

Vorkommen[Bearbeiten]

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als 5 × 108.[3][4] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa \log(\log(y)/\log(x)) zwischen x und y.[5][4]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Wilson Quotient. In: MathWorld (englisch).
  2. Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime, Journal of the London Mathematical Society 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
  3. Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
  4. a b Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes, Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  5. Chris K. Caldwell: The Prime Glossary: Wilson prime (englisch)