Winkelgeschwindigkeit

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Physikalische Größe
Name Winkelgeschwindigkeit, Rotationsgeschwindigkeit, Drehgeschwindigkeit
Formelzeichen der Größe \vec\omega
Abgeleitet von Winkel
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI rad·s−1 T−1

Die Winkelgeschwindigkeit ist in der Physik eine vektorielle Größe, die angibt, wie schnell sich ein Winkel mit der Zeit um eine Achse ändert. Ihr Formelzeichen ist \vec\omega (kleines Omega). Die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist \tfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}. Sie spielt insbesondere bei Rotationen eine Rolle und wird dann auch als Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit bezeichnet. In vielen Fällen, bei denen sich die Richtung der Drehachse im Bezugssystem nicht ändert, reicht die skalare Verwendung als Betrag des Vektors aus.

Definition[Bearbeiten]

Winkelgeschwindigkeit als Pseudovektor

Die Winkelgeschwindigkeit \vec\omega ist ein Pseudovektor, der die Drehachse und Schnelligkeit einer Rotationsbewegung angibt. Die Richtung des Vektors ist dabei senkrecht zur Rotationsebene und gibt die Rotationsrichtung an (analog zur Korkenzieherregel). Seinen Betrag  \omega = \left|\vec\omega\right| erhält man durch Ableitung des Rotationswinkels \varphi nach der Zeit t:

\omega = \frac{d\varphi}{dt}.

Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit wird bei Vorgängen verwendet, bei denen sich die Drehachse nicht ändert. Die Ursache für nicht konstante Winkelgeschwindigkeit ist eine Winkelbeschleunigung, bei konstanter Winkelgeschwindigkeit vereinfacht sich der Ausdruck zu

\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t},

wobei der Winkel \Delta\varphi in der Zeit \Delta t überstrichen wird.

Die Winkelgeschwindigkeit ist im Gegensatz zur Tangentialgeschwindigkeit \vec v unabhängig vom Radius \vec r. Die Bahngeschwindigkeit lässt sich dann als Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Radiusvektor schreiben:

\vec v  = \vec \omega \times \vec r.

Das Kreuzprodukt kann durch eine Matrixmultiplikation ersetzt werden, da sich die Winkelgeschwindigkeit zu einem Tensor zweiter Stufe verallgemeinern lässt. Dieser kann durch eine schiefsymmetrische Matrix dargestellt werden:[1]


\tilde\omega = \begin{pmatrix}
    0  & -\omega_z &  \omega_y\\
    \omega_z & 0 & -\omega_x \\
    -\omega_y & \omega_x & 0 
  \end{pmatrix}
.

Stehen Winkelgeschwindigkeit und Radiusvektor senkrecht aufeinander, vereinfacht sich das Kreuzprodukt zum normalen Produkt der Beträge:

v = \omega \, r.

Bildet die z-Achse die Rotationsachse, so lässt sich die Winkelgeschwindigkeit auch als folgender Vektor schreiben:

\vec\omega = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ \omega\end{pmatrix}.

Abgrenzung zur Kreisfrequenz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Kreisfrequenz

Obwohl die Kreisfrequenz und die Winkelgeschwindigkeit mit demselben Formelzeichen \omega bezeichnet werden und obwohl sie in derselben Einheit gemessen werden, handelt es sich um zwei verschiedene physikalische Größen.

Die Winkelgeschwindigkeit gibt die Änderungsrate eines geometrischen Winkels an und wird im Zusammenhang von Drehbewegungen verwendet.

Die Kreisfrequenz dagegen ist eine abstrakte Größe im Kontext von Schwingungen.[2] Eine Schwingung kann mathematisch durch einen rotierenden Zeiger dargestellt werden (siehe Zeigermodell). Der Winkel des Zeigers wird als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet.[3] Die Änderungsgeschwindigkeit dieses Phasenwinkels ist die Kreisfrequenz. Sie ist also – wie auch die Frequenz – ein Maß dafür, wie schnell eine Schwingung abläuft und hat – abgesehen von der Rotation des gedachten Zeigers – nichts mit einer Drehbewegung zu tun.

Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls[Bearbeiten]

Ebene Bewegung[Bearbeiten]

Die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom Ursprung O zum Teilchen P wird bestimmt durch die Tangentialgeschwindigkeit des Geschwindigkeitsvektors v.

Der Geschwindigkeitsvektor v eines Teilchens P relativ zu einem Beobachter O kann in Polarkoordinaten zerlegt werden. Die radiale Komponente des Geschwindigkeitsvektors ändert die Richtung des Sehstrahls nicht. Zwischen der tangentialen Komponente und der Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls besteht die Beziehung:

\mathrm{v}_\perp=\frac{d\phi}{dt}\,r=\omega\cdot r

Es ist anzumerken, dass die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.

Räumliche Bewegung[Bearbeiten]

In drei Dimensionen ist die Winkelgeschwindigkeit sowohl durch ihren Betrag, als auch durch ihre Richtung gekennzeichnet.

Wie im zwei-dimensionalen Fall hat das Teilchen eine Komponente seines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radiusvektors und eine weitere senkrecht dazu. Die Ebene, die durch den Ursprung geht und in der die senkrechte Komponente des Geschwindigkeitsvektors liegt, definiert eine Rotationsebene, in der das Verhalten des Teilchens für einen Augenblick wie im zwei-dimensionalen Fall erscheint. Die Rotationsachse ist dann senkrecht zu dieser Ebene und definiert die Richtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit. Radius- und Geschwindigkeitsvektor werden als bekannt vorausgesetzt. Es gilt dann:

\vec\omega=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{|{\vec{r}}|^2}

Auch hier gilt, dass die so berechnete Winkelgeschwindigkeit vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt. Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie (siehe Eigenbewegung (Astronomie)).

Komponenten von Euler-Winkeln[Bearbeiten]

Lagewinkel-Drehung vom erdfesten Koordinatensystem (englisch world frame, Index g) ins körperfeste Koordinatensystem (englisch body frame, Index f)

Im Fahrzeug- oder Flugzeugbau wird die Orientierung des fahrzeugfesten Systems relativ zum erdfesten System in Euler-Winkeln angegeben. Genormt sind drei aufeinander folgende Drehungen. Zuerst um die z-Achse des Systems g (Gierwinkel), dann um die y-Achse des gedrehten Systems (Nickwinkel) und schließlich um die x-Achse des körperfesten Koordinatensystems (Wank/Rollwinkel).

Die Winkelgeschwindigkeit des körperfesten Systems ergibt sich aus den Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen.

\vec \omega = \dot\psi \vec{\mathbf{u}}_1
      +\dot\theta \vec{\mathbf{u}}_2
      +\dot\phi \vec{\mathbf{u}}_3

Diese Basis ist nicht orthonormal. Die Einheitsvektoren können jedoch mit Hilfe von Elementardrehungen berechnet werden.

Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers[Bearbeiten]

Beweis der Unabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Bezugspunkts

Der starre Körper möge um eine beliebige Achse rotieren. Es wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts auf dieser Achse ist. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhängige Eigenschaft des rotierenden starren Körpers ist.

Der Ursprung des Laborsystems ist in O, während O1 und O2 zwei Punkte auf dem starren Körper mit den Geschwindigkeiten \vec{v}_1 bzw. \vec{v}_2 sind. Angenommen die Winkelgeschwindigkeit relativ zu O1 bzw. O2 sei \vec {\omega}_1 bzw. \vec {\omega}_2. Da Punkt P und O2 jeweils nur eine Geschwindigkeit haben, gilt:

\vec{v}_1 + \vec {\omega}_1\times\vec {r}_1 = \vec {v}_2 + \vec {\omega}_2\times\vec {r}_2
\vec {v}_2 = \vec {v}_1 + \vec {\omega}_1\times\vec {r} = \vec {v}_1 + \vec {\omega}_1\times (\vec {r}_1 - \vec {r}_2).

Die beiden obigen Gleichungen ergeben:

 (\vec {\omega}_1-\vec{\omega}_2) \times \vec{r}_2= \vec{0}.

Da der Punkt P (und damit  \vec {r}_2 ) beliebig wählbar ist, folgt daraus:

 \vec{\omega}_1 = \vec{\omega}_2 .

Die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ist somit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse. In Kraftfahrzeugen kann somit die Gierrate unabhängig vom Einbauort des Gierratensensors gemessen werden.

Anwendungen und Beispiele[Bearbeiten]

Die Winkelgeschwindigkeit tritt in vielen Gleichungen und Anwendungsfällen der Physik, der Astronomie oder der Technik auf.

  • Ein Himmelskörper, der sich in einer Entfernung R von der Erde mit Geschwindigkeit v_t senkrecht zur Sehlinie bewegt, zeigt am Himmel eine scheinbare Winkelgeschwindigkeit \mu=v_t/R. Bei Meteoren (Sternschnuppen) kann sie bis zu 90° pro Sekunde ausmachen, sehr nahe Kleinplaneten oder Kometen können sich am Himmel einige Grad pro Stunde bewegen. Bei Sternen wird die Winkelgeschwindigkeit in Winkelsekunden pro Jahr angegeben und Eigenbewegung genannt.
  • Nach dem dritten Kepler'schen Gesetz verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a ihrer Bahnen. Die Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich demnach wie \omega \propto 1/a^{3/2} („Kepler-Rotation“). Gemäß dem zweiten Kepler'schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhängig und variiert somit längs der Bahn. Sie ist am größten, wenn der Planet sich im Perihel befindet, und am kleinsten, wenn er sich im Aphel befindet.
  • Bei der Rotation eines starren Körpers ist die Winkelgeschwindigkeit ω im Gegensatz zur Geschwindigkeit v vom Radius unabhängig.
  • Die Winkelgeschwindigkeit eines Rotors in einem Elektromotor, der sich konstant mit 3.000 Umdrehungen pro Minute dreht, beträgt
\omega = 2 \pi \cdot 3000 \cdot \tfrac{1}{60 \, \text{s}} =  314{,}16 \,\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}
Bei solchen Angaben von Drehzahlen werden auch Einheiten wie \mathrm {\tfrac {U}{min}} und \mathrm {\tfrac {1}{min}} verwendet, siehe dazu den Artikel Drehzahl.
  • Sei \omega_0 die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung eines Pendels mit der Amplitude \hat\varphi. Dann berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit:
\omega(t)=\dot\varphi(t)=\frac d{dt}[\hat\varphi\cdot\sin(\omega_0 t)] = \hat\varphi\cdot\omega_0\cdot\cos(\omega_0 t)

Siehe auch[Bearbeiten]

Bei Flugzeugen oder Pkw werden die Winkelgeschwindigkeiten in Komponenten des fahrzeugfesten Koordinatensystems angegeben. Entsprechend den x, y, z-Komponenten spricht man von Roll/Wankgeschwindigkeit, Nickgeschwindigkeit, Giergeschwindigkeit.

Literatur[Bearbeiten]

Die Winkelgeschwindigkeit wird in vielen Lehrbüchern und Formelsammlungen der Natur- und Ingenieurswissenschaften behandelt.

  •  Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 6 Auflage. Harri Deutsch, ISBN 978-3817118601.
  •  Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1. 12 Auflage. Vieweg+Teubner, ISBN 978-3834805454.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. G. Rill, T. Schaeffer: Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation, Seite 20 ff.
  2. Manfred Knaebel, Helmut Jäger, Roland Mastel: Technische Schwingungslehre. Springer DE, 12. März 2009, ISBN 978-3-8349-9435-6, S. 8– (Zugriff am 15. Februar 2013).
  3.  Jürgen Eichler: Physik: für das Ingenieurstudium - prägnant mit knapp 300 Beispielaufgaben. Springer DE, 2011, ISBN 3834899429, S. 112 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).