Gegeninduktion

Die Gegeninduktion oder induktive Kopplung ist die gegenseitige magnetische Beeinflussung zweier oder mehrerer räumlich benachbarter elektrischer Stromkreise durch den magnetischen Fluss Φ. Die Gegeninduktion ist Grundlage vieler technischer Geräte, das wichtigste ist dabei der Transformator, in anderen Fällen ist sie ein unerwünschter Effekt, das Übersprechen. Im Internationalen Einheitensystem ist die Einheit der Gegeninduktivität das Henry.

Prinzip

Flussverkettung zweier Leiterschleifen

Eine stromdurchsetzte (erste) Leiterschleife bewirkt, abhängig von ihrer Geometrie, die Erzeugung einer magnetischen Flussdichte B in ihrer räumlichen Umgebung. Diese ist aufgrund des Biot-Savart-Gesetzes direkt proportional zum Momentanwert der Stromstärke:

$\vec B(\vec r) \propto i_1$

Der magnetische Fluss Φ₂, der die Schleife 2 mit der Fläche A durchflutet, berechnet sich als

$\Phi_2 = \int_ {A} \vec B(\vec r) \cdot \mathrm{d} \vec A$,

was der Summe aller Skalarprodukte aller infinitesimal kleinen Flächenvektoren $\mathrm{d} \vec A$ mit den magnetischen Flussdichtevektoren $\vec B$, die diese Flächenstücke $\mathrm{d} \vec A$ durchsetzen, entspricht.

Doch die eigentliche Erkenntnis von Faraday im Induktionsgesetz war, dass nicht der Fluss Φ sondern die zeitliche Veränderung für die Induktion verantwortlich ist. Somit lässt sich für die Gegeninduktivität M analog zur Selbstinduktion L folgende Gleichung herleiten:

$\frac{\mathrm{d} \Phi_2}{\mathrm{d}t} = M_{21}\cdot \frac{\mathrm{d} i_1}{\mathrm{d}t}$

Aufgrund dieser Definition kann die Gegeninduktivität als Verallgemeinerung der Selbstinduktivität angesehen werden. Sie wird, wie diese, in der SI-Einheit Henry [H] angegeben.

Symmetrie

Eine wesentliche Eigenschaft ist die Symmetrie der Flussverkettungen: Die Gegeninduktivität vom System 1 auf System 2 ist gleich groß wie für den umgekehrten Fall:

$M_{21} = M_{12} \quad$

Diese Beziehung erleichtert in vielen Fällen die praktische Berechnung von Flussverkettungen. So kann beispielsweise leicht ein Ausdruck für die Flussverkettung einer langen Spule mit einer kleineren, konzentrisch angebrachten Empfängerspule berechnet werden. Der umgekehrte Fall, nämlich die Verkettung des Flusses der kleinen mit der großen Spule würde ohne Kenntnis der obigen Relation vermutlich auf erhebliche analytische Schwierigkeiten stoßen. Die beschriebene Symmetrie welche auch als magnetisches Reziprozitätstheorem bezeichnet wird, kann mit den mathematischen Mitteln der Vektoranalysis unter Zuhilfenahme der Maxwell-Gleichungen bewiesen werden.

Beweis der magnetischen Reziprozität

Das Magnetfeld B kann als Rotor eines Vektorpotential ausgedrückt werden:

$\vec B = \vec \nabla \times \vec A$

Der magnetische Fluss durch die zweite Leiterschleife wird dann ($\mathrm{d} \vec a$ bezeichnet ein infinitesimales Flächenelement)

$\Phi_2 =\int_{L_2} \vec B \cdot \mathrm{d} \vec a = \int_{L_2} \big( \vec \nabla \times \vec A \big) \cdot \mathrm{d} \vec a = \int_{L_2} \vec A \cdot \mathrm{d} \vec s_2$

Nun kann aber das Vektorpotential A auf das Linienintegral des Stroms i in der ersten Leiterschleife zurückgeführt werden (dies ist eine andere Schreibweise für das Biot-Savart-Gesetz):

$\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{L_1} \frac{\mathrm{d} \vec s_1}{\vert \vec r - \vec x_1 \vert}$

Dies eingesetzt in die vorletzte Gleichung, ergibt:

$\Phi_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{L_1}\int_{L_2} \frac{\mathrm{d} \vec s_1 \cdot \mathrm{d} \vec s_2 }{\vert \vec x_2 - \vec x_1 \vert}$

M wird daher

$M_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{L_1}\int_{L_2} \frac{\mathrm{d} \vec s_1 \cdot \mathrm{d} \vec s_2 }{\vert \vec x_2 - \vec x_1 \vert} = M_{21}$

Anwendung

• Das Prinzip der Gegeninduktion wird zum Betrieb eines Spaltmotors genutzt.
• Transformatoren werden in der Elektrotechnik oft durch eine Gegeninduktivität modelliert.
• Die induzierte Spannung in einer Leiterschleife, welche durch eine andere Leiterschleife bewirkt wird, ist

$U_{2} = M_{21} \cdot \frac{\mathrm{d} i_1}{\mathrm{d}t}$

• Aufgrund der Symmetrie ist eine Gegeninduktivität formal ein reziproker Vierpol.
• Das Prinzip der Gegeninduktion ist in der EMV wichtig, weil sie der Grund für die Übertragung von Energieimpulsen z. B. Blitzschlag auf elektronische Geräte ist.

Fachliteratur

• Pascal Leuchtmann: Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie. Pearson Studium, 2005, ISBN 3-8273-7144-9.
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1.
• Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, Wuppertal 1989, ISBN 3-8085-3018-9.

Siehe auch

• Elektromagnetische Induktion
• Lenzsche Regel