Witt-Algebra

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Die Witt-Algebra wird in der Mathematik untersucht, es handelt sich um eine spezielle Lie-Algebra. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, wie in der Stringtheorie und konformen Feldtheorie. Namensgeber ist der deutsche Mathematiker Ernst Witt.

Definition[Bearbeiten]

Sei L_j mit j als ganzzahligem Index eine Basis eines Vektorraumes. Die durch die Kommutatorrelation


[L_j,L_k]:=(j-k)\cdot L_{j+k}

definierte Lie-Algebra heißt Witt-Algebra. Man erhält solche Algebren als Derivationen-Algebra über dem Ring der Laurent-Polynome.

Realisierung durch Vektorfelder[Bearbeiten]

In den meisten Anwendungen betrachtet man Derivationen über \C. Man kann die Witt-Algebra wie folgt durch komplexwertige Vektorfelder realisieren:


L_n:= - z^{n+1}\frac{\partial}{\partial z}

sl(2,K) als Unteralgebra[Bearbeiten]

Aus obigen Kommutatorrelationen ergibt sich sofort, dass für n>0 die von L_{-n},L_0,L_n erzeugte Unter-Lie-Algebra gleich K\cdot L_{-n}+K\cdot L_0 + K\cdot L_n ist. Diese drei-dimensionale Unter-Lie-Algebra ist isomorph zur sl(2,K).

Zentrale Erweiterung[Bearbeiten]

Wenn man die Witt-Algebra durch den Kozyklus


\omega(L_m,L_n):=\frac{1}{12}(n^3-n)\delta_{m+n,0}

zentral erweitert, so erhält man die Virasoro-Algebra.

Quellen[Bearbeiten]

Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5