Wittvektor

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Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte[1] Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen p-typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die p-typischen Wittvektoren für beliebiges p rekonstruieren lassen.

p-typische Wittvektoren[Bearbeiten]

Sei p eine feste Primzahl. Für einen Ring A (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von p abhängenden Ring W_p(A). Er ist vor allem für Ringe A der Charakteristik p interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Motivation[Bearbeiten]

Sei n>1 eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der p-adischen Zahlen \Z_p soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper \mathbb{F}_p=\Z/p\Z ein zum Restklassenring \Z/p^n\Z isomorpher Ring, bezeichnet mit W_{p,n}(\mathbb{F}_p), konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung \sigma: \mathbb{F}_p\to\Z/p^n\Z, die für ganze Zahlen 0\leq k<p die Restklasse von k in \mathbb{F}_p=\Z/p\Z auf die Restklasse von k in \Z/p^n\Z abbildet. Die Bijektion

\mathbb{F}_p^n\to\Z/p^n\Z,\ \ (x_0,x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto\sigma(x_0)+p\sigma(x_1)+\dots+p^{n-1}\sigma(x_{n-1})

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in \{0,1,\dots,p^n-1\} im Stellenwertsystem zur Basis p. Die von \Z/p^n\Z übertragene Addition ist dann im Fall n=2:

(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(x_0+y_0,x_1+y_1+c(x_0,y_0)),

wobei c(x_0,y_0) der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als \mathbb{F}_p verallgemeinern, auch weil die Definition von \sigma von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem \{0,1,\dots,p-1\}\subset\Z Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen u,v gilt:

u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^n

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist x\in\mathbb{F}_p=\Z/p\Z und u\in\Z ein Vertreter von x, dann hängt die Restklasse von u^{p^{n-1}} in \Z/p^n\Z nur von x, nicht jedoch von der Wahl von u ab. Wir schreiben suggestiv x^{p^{n-1}} für dieses Element von \Z/p^n\Z. (Diese Abbildung \mathbb{F}_p\to\Z/p^n\Z ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die p-adischen Zahlen \Z_p.) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von p^ku^{p^{n-1-k}} nicht von u selbst ab, wir scheiben p^k x^{p^{n-1-k}}.

Weil jeweils \mathbb{F}_p\to p^k\Z/p^{k+1}\Z, x\mapsto p^k x^{p^{n-1-k}} bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

\begin{align} w_{n-1}{:}\ &\mathbb{F}_p^n\to\Z/p^n\Z,\\ &(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto x_0^{p^{n-1}}+px_1^{p^{n-2}}+\dots+p^k x_k^{p^{n-1-k}}+\dots+p^{n-1}x_{n-1} \end{align}

Sei W_{p,n}(\mathbb{F}_p) die Menge \mathbb{F}_p^n zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die w_{n-1} zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell n=2 und damit w_1(x_0,x_1)=x_0^p+px_1. Sollen zwei Vektoren (x_0,x_1) und (y_0,y_1) addiert werden, also (x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(z_0,z_1), dann erhält man modulo p die Gleichung z_0^p=x_0^p+y_0^p, also z_0=x_0+y_0. Damit ist

pz_1=px_1+py_1+x_0^p+y_0^p-(x_0+y_0)^p

Das Polynom

X^p+Y^p-(X+Y)^p\in\Z[X,Y]

hat durch p teilbare Koeffizienten, ist also gleich p\cdot S_1'(X,Y) mit einem Polynom S_1'(X,Y)\in\Z[X,Y]. Damit ist

pz_1=p(x_1+y_1+S_1'(x_0,y_0))

also insgesamt

(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(x_0+y_0,x_1+y_1+S_1'(x_0,y_0))

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

S_1'(x_0,y_0)+S_1'(x_0+y_0,z_0)=S_1'(x_0,y_0+z_0)+S_1'(y_0,z_0)

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in \Z[X,Y,Z] gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring A durch die Festlegung

(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(x_0+y_0,x_1+y_1+S_1'(x_0,y_0))

die Struktur einer abelschen Gruppe auf W_{p,2}(A)=A^2 definieren kann. Entsprechendes gilt für

(x_0,x_1)\cdot(y_0,y_1)=(x_0 y_0, P_1(x_0,x_1,y_0,y_1))

mit P_1(X_0,X_1,Y_0,Y_1)=X_0 Y_1 + X_1 Y_0 + p X_1 Y_1, so dass W_{p,2}(A) zu einem kommutativen Ring mit Einselement (1,0) wird.

Definition[Bearbeiten]

Bezeichne \N_0 die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist p eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome S_i,P_i\in\Z[X_0,\dots,X_i,Y_0,\dots,Y_i] für jedes i\in\N_0 derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement A gilt: W_p(A)=A^{\N_0} ist ein Ring mit Addition:

x+y=(S_0(x_0,y_0), S_1(x_0,x_1,y_0,y_1),S_2(x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2),\dots)

und Multiplikation

x\cdot y=(P_0(x_0,y_0), P_1(x_0,x_1,y_0,y_1),\dots)

und für jedes n\in\N_0 ist die Abbildung

W_p(A)\to A,\ \ x\mapsto x_0^{p^n}+px_1^{p^{n-1}}+\dots+p^k x_k^{p^{n-k}}+\dots+p^n x_n

ein Ringhomomorphismus. W_p(A) heißt Ring der p-typischen Wittvektoren mit Einträgen aus A. Ist nur die Rede von p-typischen Wittvektoren, wird nur W(A) geschrieben.

Für n\in\N_1 ist W_{p,n}(A)=A^n mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der p-typischen Wittvektoren der Länge n.[2]

Das Ringelement

x^{(n)}=x_0^{p^n}+px_1^{p^{n-1}}+\dots+p^k x_k^{p^{n-k}}+\dots+p^n x_n\in A

wird als n-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von x\in W_p(A) bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

w_{p,n}(X)=X_0^{p^n}+pX_1^{p^{n-1}}+\dots+p^n X_n

kann man S_n und P_n rekursiv berechnen:

\begin{align}
S_n(X,Y) &= \frac{1}{p^n} \left(w_{p,n}(X) + w_{p,n}(Y) - \sum_{k=0}^{n-1} p^k S_k^{p^{n-k}}(X,Y) \right) \\
P_n(X,Y) &= \frac{1}{p^n} \left(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y) - \sum_{k=0}^{n-1} p^k P_k^{p^{n-k}}(X,Y) \right)
\end{align}

Beispiele:

\begin{align}
S_0(X,Y) &= X_0 + Y_0 \\
S_1(X,Y) &= X_1 + Y_1 + \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{p} \binom{p}{k} X_0^k Y_0^{p-k} \\
P_0(X,Y) &= X_0 Y_0 \\
P_1(X,Y) &= X_0^p Y_1 + X_1 Y_0^p + p X_1 Y_1
\end{align}

Auch die Negation x\mapsto -x im Ring W_p(A) ist durch universelle Polynome gegeben. Für p\ne 2 ist:

-(x_0,x_1,x_2,\dots)=(-x_0,-x_1,-x_2,\dots)

Für p=2 ist dagegen -(x_0,x_1,x_2,\dots)=(I_0(X),I_1(X),I_2(X),\dots) mit

\begin{align}
I_0(X) &= -X_0 \\
I_1(X) &= -X_0^2 - X_1 \\
I_2(X) &= -X_0^4 - X_0^2 X_1 - X_1^2 - X_2
\end{align}

Die Abbildung \tau: A\to W_p(A),\ a\mapsto(a,0,0,\dots) ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Beweisskizze[Bearbeiten]

Die rekursive Beschreibung liefert S_n,P_n\in\Q[X,Y]. Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:[3]

Lemma. Ist \phi\in\Z[X,Y] ein Polynom (z.B. \phi(X,Y)=X+Y), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome \phi_n\in\Z[X_0,\dots,X_n,Y_0,\dots,Y_n] mit

w_{p,n}(\phi_0,\dots,\phi_n)=\phi(w_{p,n}(X_0,\dots,X_n),w_{p,n}(Y_0,\dots,Y_n))

für alle n. Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für X,Y,Z statt X,Y oder auch nur X.

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^p)\mod p und f(X^p)\equiv f(X)^p\mod p sowie der oben erwähnten Implikation

u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^n

Die Ringeigenschaften von W_p(A) folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl x+(y+z) als auch (x+y)+z sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

w_{p,n}(\phi_0,\dots,\phi_n)=w_{p,n}(X_0,\dots,X_n)+w_{p,n}(Y_0,\dots,Y_n)+w_{p,n}(Z_0,\dots,Z_n)

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring \Lambda(A), siehe unten.

Einfache Eigenschaften[Bearbeiten]

  • W_{p,1}(A) kann mit A identifiziert werden, und w_{p,0}: W_p(A)\to A mit der Projektion x\mapsto x_0. Alle Projektionen W_p(A)\to W_{p,n}(A) sind surjektive Ringhomomorphismen, und
W_p(A)=\varprojlim_n W_{p,n}(A)
(siehe Projektiver Limes)
  • W_p(\mathbb{F}_p)=\Z_p und W_{p,n}(\mathbb{F}_p)=\Z/p^n\Z
  • Wenn p in A invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten w_p: W_p(A)\to A^{\N_0} ein Ringisomorphismus.
  • Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht X dem Vektor (0,1)):
\begin{align} & W_{p,2}(\Z)\cong\Z[X]/(X^2-pX) \\
& W_{p,2}(\Z/p^2\Z)\cong\Z/p^3\Z[X]/(X^2-pX,pX-p^2) \end{align}

W(k) für perfekte Körper k[Bearbeiten]

Sei k ein perfekter Körper der Charakteristik p. Dann ist W_p(k) ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d.h. \text{char}(W_p(k))=0), dessen maximales Ideal von p erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert W_p(k) bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

  • Satz von Teichmüller-Witt: Ist (A,\mathfrak{m}) ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper k, dann gibt es genau einen Homomorphismus W_p(k)\to A, so dass die Verkettung mit der Projektion A\to k gleich der Projektion W_p(k)\to k ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt \tau_A: k\to A der Projektion A\to k, genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung W_p(k)\to A ist:[4]
x\mapsto\sum_{n=0}^\infty p^n\cdot\tau_A(x_n^{1/p^n})
  • A ist als W_p(k)-Algebra isomorph zu einem Quotienten von W_p(k)[[T_1,\dots,T_m]] mit m=\dim_k(\mathfrak m/(\mathfrak m^2+pA)).
  • Ist p kein Nullteiler in A, dann gibt es Elemente t_1,\dots,t_{d-1} mit d=\dim(A), so dass der induzierte Homomorphismus W_p(k)[[T_1,\dots,T_{d-1}]]\to A injektiv ist und A als W_p(k)[[T_1,\dots,T_{d-1}]]-Modul endlich erzeugt ist.
  • Im Spezialfall d=1 bedeutet das genauer: Ist (A,\mathfrak{m}) ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper k, dann ist A eine endliche Erweiterung von W_p(k) vom Grad e, wenn e die normalisierte Bewertung von p ist, also pA=\mathfrak{m}^e gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von W_p(k).

Frobenius und Verschiebung[Bearbeiten]

In Charakteristik p[Bearbeiten]

Sei A ein Ring der Charakteristik p. Die Verschiebung ist die Abbildung

\begin{align} V{:}\ & W_p(A)\to W_p(A),\\
& (x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,x_2,\dots) \end{align}

Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

\begin{align} & W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\
& (x_0,x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto(0,x_0,x_1,\dots,x_{n-1}) \end{align}

Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik p) ist die Abbildung

\begin{align} F{:}\ & W_p(A)\to W_p(A),\\
& (x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(x_0^p,x_1^p,x_2^p,\dots) \end{align}

Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A) einschränkt. Sei [p] die Multiplikation mit p auf W_p(A). Dann ist

F\circ V=V\circ F=[p]

somit

[p](x_0,x_1,x_2,\dots)=(0,x_0^p,x_1^p,\dots)

insbesondere

p\cdot 1_{W_p(A)}=(0,1,0,0,0,\dots)

Außerdem ist

V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei K der Quotientenkörper von W_p(\mathbb{F}_q). Dann ist F der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung K/\Q_p.

Dieudonné-Ring[Bearbeiten]

Sei k ein perfekter Körper der Charakteristik p. Schreibt man W=W_p(k) und W^\sigma für den W-Modul W, bei dem die Modulstruktur durch F gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

F: W\to W^\sigma,\ \ V: W^\sigma\to W

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik p. Ist allgemeiner M ein W-Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen F: M\to M^\sigma und V: M^\sigma\to M, kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring D_k (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von W_p(k) und zwei Symbolen \mathbf{F},\mathbf{V} erzeugt wird, mit den Relationen

 \begin{align}
& \mathbf{V}\cdot\mathbf{F}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{V}=p \\
& \mathbf{V}\cdot F(a)=a\cdot\mathbf{V} \\
& \mathbf{F}\cdot a=F(a)\cdot\mathbf{F}
\end{align}

Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten D_k-Moduln. Siehe auch unten.

Allgemein[Bearbeiten]

Für beliebige Ringe A muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente F_0(x)=x_0^p+px_1. Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt[5]

Fx\equiv x^p\mod pW(A)

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

W_{p,n}(A)\to W_{p,n-1}(A)

(also nicht mehr mit Ziel W_{p,n}(A) wie im Fall der Charakteristik p). Allgemein gilt immer noch

FV=[p]

und

V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b

Frobeniuslifts und Komonadenstruktur [Bearbeiten]

Sei A ein p-torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus \sigma: A\to A mit \sigma(a)\equiv a^p\mod pA. Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung s: A\to W_p(A), für die w_{p,n}\circ s=\sigma^n für alle n gilt. Sie erfüllt F\circ s=s\circ\sigma. Da W_p(A) selbst über den Frobeniuslift F verfügt, erhält man zunächst für p-torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation \mu: W_p\to W_p\circ W_p, die durch w_{p,n}\circ\mu=F^n charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade (W_p,\mu,w_0).[6]

Die Restriktion auf p-torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu p-Derivationen übergeht: Für einen Ring A ist eine p-Derivation eine Abbildung \delta: A\to A, für die die Abbildung

s_{2,\delta}: A\to W_{p,2}(A),\ a\mapsto(a,\delta(a))

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass \delta die folgenden Gleichungen erfüllt:

\begin{align} & \delta(1) = 0 \\
& \delta(a + b) = S_1(a,\delta(a),b,\delta(b)) = \delta(a) + \delta(b) + \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{p}\binom{p}{k} a^k b^{p-k} \\
& \delta(ab) = P_1(a,\delta(a),b,\delta(b)) = a^p\delta(b) + \delta(a)b^p + p\cdot \delta(a) \delta(b)
\end{align}

Eine p-Derivation \delta definiert durch w_{p,1}\circ s_{2,\delta}: a\mapsto a^p+p\cdot\delta(a) einen Frobeniuslift auf A. Ist A torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift \sigma eine p-Derivation

\delta: A\to A,\ \delta(a)=\frac{\sigma(a)-a^p}{p}

Ein Ring zusammen mit einer p-Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.[7]

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen d: A\to A, als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass A\to A[T]/T^2,\ a\mapsto (a,d(a)) ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist W_p rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe.[8] Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ \Lambda_p, die W_p als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.[9]

Weitere Eigenschaften in Charakteristik p[Bearbeiten]

Sei A ein Ring mit pA=0.

  • Wenn A ein Integritätsbereich ist, dann auch W_p(A), und es gilt \text{char}(W_p(A))=0.
  • Die Einheiten von W_p(A) sind genau die Elemente x mit x_0\in A^*.
  • Wenn A ein Körper ist, dann ist W_p(A) ein lokaler Ring mit maximalem Ideal V(W_p(A)). Außerdem ist W_p(A) genau dann noethersch, wenn A perfekt ist.[10]
  • Wenn A\to A,\ a\mapsto a^p surjektiv ist, dann ist V(W_p(A))=pW_p(A) und somit W_p(A)/pW_p(A)\cong A.
  • Ist A perfekt, d.h. a\mapsto a^p bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor x=(x_0,x_1,x_2,\dots) mit der Teichmüller-Abbildung \tau: A\to W_p(A) als p-adisch konvergente Reihe schreiben:
x=\sum_{n=0}^\infty V^n \tau(x_n)=\sum_{n=0}^\infty p^n\cdot\tau(x_n^{1/p^n})
  • Ist A ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen \ne p in A invertierbar (z.B. wenn A ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen A[[T]]^* und A((T))^* (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie (A[T]/T^n A[T])^* durch W_p(A) beschreiben, siehe unten.

Weitere Anwendungen[Bearbeiten]

Wittvektoren als algebraische Gruppe [Bearbeiten]

Sei k ein perfekter Körper der Charakteristik p. Die Wittvektoren der Länge n bilden eine kommutative algebraische Gruppe W_n über k, die als Varietät isomorph zum affinen Raum \mathbb{A}_k^n ist. W_n ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung V^k W_n mit Subquotienten \cong\mathbb{G}_a oder der Artin-Hasse-Einbettung W_n(A)\to (A[T]/(T^{p^n+1}))^*.

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu \mathbb{G}_a^d. In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer \mathbb{G}_a gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren \underline{\Z/p\Z} und \alpha_p (der Kern des Frobeniusmorphismus auf \mathbb{G}_a, explizit \alpha_p(A)=\{a\in A: a^p=0\}).

Jede kommutative unipotente Gruppe über k ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen.[14] Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

M(G)=\varinjlim_n \text{Hom}(G,W_n)

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über k und der Kategorie der endlich erzeugten D_k-Moduln, auf denen V nilpotent wirkt.[15] Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche p-Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.[16]

Für eine abelsche Varietät X/k gibt es einen kanonischen Isomorphismus von D_k-Moduln M({}_p X)\cong H^1_{\text{DR}}(X). Dabei ist {}_p X der Kern der Multiplikation mit p auf X und H^1_{\text{DR}}(X) die algebraische De-Rham-Kohomologie von X.[17] Der Dieudonné-Modul der p-divisiblen Gruppe von X ist isomorph zur kristallinen Kohomologie H^1_\text{cris}(X/W).[18]

Witt-Kovektoren[Bearbeiten]

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der p-adischen Zahlen W_p(\mathbb{F}_p)=\Z_p=\varprojlim_n \Z/p^n\Z sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfer-Gruppe CW(\mathbb{F}_p)=\Q_p/\Z_p=\varinjlim_n \tfrac{1}{p^n}\Z/\Z. Der Funktor M(G)=\text{Hom}(G,CW) erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative p-Gruppen und p-divisible Gruppen über einem perfekten Körper.[19]

Für einen Ring A sei CW^u(A) der direkte Limes von

W_{p,1}(A) \stackrel{V}{\longrightarrow} W_{p,2}(A) \stackrel{V}{\longrightarrow} W_{p,3}(A) \stackrel{V}{\longrightarrow} \dots

Damit wird CW^u zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol \mathop{W}_\to verwendet. CW^u(A) heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.[20]

Die Konstruktion der topologischen Gruppe CW(A) aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in CW^u(A) können mit Folgen (x_0,x_{-1},x_{-2},\dots) identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index r Werte in einem festen nilpotenten Ideal \mathfrak{n} haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen CW(A,\mathfrak{n},r) mit der Produkttopologie von A^r\times\mathfrak{n}^\N mit diskreten Faktoren aus und setze CW(A)=\varinjlim_{\mathfrak{n},r} CW(A,\mathfrak{n},r). Die unipotenten Kovektoren CW^u(A) bilden eine dichte Untergruppe von CW(A).[21]

Sei A ein perfekter Ring der Charakteristik p und f: A\to B eine A-Algebra. Die Abbildung

W_p(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),\ \ (a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b

macht W_{p,n}(B) zu einem W_p(A)-Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird W_{p,n}(B) zu einem D_A-Modul. Die Verschiebung W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B) ist D_A-linear, und man erhält eine D_A-Modulstruktur auf CW^u(B) und CW(B).[22]

Verzweigte Wittvektoren[Bearbeiten]

Sei A ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender \pi, dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit q Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle A-Algebra-Struktur auf W_\pi^A(B)=B^{\N_0} für A-Algebren B, so dass

w_{\pi,n}: W_\pi^A(B)\to B,\ \ (x_0,x_1,\dots)\mapsto\sum_{k=0}^n \pi^k x_k^{q^{n-k}}

für jedes n\in\N_0 ein Homomorphismus von A-Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren F_\pi,V_\pi, die durch

w_{\pi,n}\circ V_\pi=\pi\cdot w_{\pi,n-1},\ \ w_{\pi,n}\circ F_\pi=w_{\pi,n+1}

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung \lambda/\mathbb{F}_q des Restklassenkörpers von A ist W_\pi^A(\lambda) eine unverzweigte Erweiterung von A vom Grad [\lambda:\mathbb{F}_q]. Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale A-Moduln.[23]

Große Wittvektoren[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Bezeichne \N_1 die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome S_i,P_i\in\Z[X_1,\dots,X_i,Y_1,\dots,Y_i] derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement A gilt: W(A)=A^{\N_1} ist ein Ring mit Addition

x+y=(S_1(x_1,y_1), S_2(x_1,x_2,y_1,y_2),S_3(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3),\dots)

und Multiplikation

x\cdot y=(P_1(x_1,y_1), P_2(x_1,x_2,y_1,y_2),\dots)

und für jedes n\in\N_1 ist die Abbildung

W(A)\to A,\ \ x\mapsto\sum_{d|n}dx_d^{n/d}

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse -x ist durch universelle Polynome gegeben. W(A) heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus A.

Ist S\subseteq\N_1 eine Teilmenge, so dass für n\in S auch jeder Teiler von n in S liegt, dann ist W_S(A)=A^S mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von W(A) ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für S=\{1,\dots,n\} erhält man den Ring W_{[n]}(A) der großen Wittvektoren der Länge n, für S=\{1,p,p^2,\dots\} mit einer Primzahl p erhält man bis auf Umindizierung den Ring der p-typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

x^{(n)}=\sum_{d|n}dx_d^{n/d}

wird als n-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von x\in W(A) bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

w_n(X)=\sum_{d|n} dX_d^{n/d}

kann man S_n und P_n rekursiv berechnen:

\begin{align} S_n(X,Y) &= \frac{1}{n} \left(w_n(X) + w_n(Y)
- \sum_{d|n,\ d < n} dS_d^{n/d}(X,Y) \right) \\
P_n(X,Y) &= \frac{1}{n} \left(w_n(X)\cdot w_n(Y) - \sum_{d|n,\ d < n} dP_d^{n/d}(X,Y) \right) \end{align}

Die Abbildung \tau: A\to W(A),\ a\mapsto(a,0,0,\dots) ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

W ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von W zu übertragen.[24]

Alternative Definition mit Potenzreihen[Bearbeiten]

Sei \Lambda(A)=1+T\cdot A[[T]]\subseteq A[[T]]^* die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

\begin{align} & W(A)\to\Lambda(A) \\
& x\mapsto\prod_{n\ge 1} (1-x_n (-T)^n) \end{align}

ist ein Isomorphismus von Gruppen (W(A),{+})\cong (\Lambda(A),{\cdot}).[25] Für x\in W(A) hat

-T\cdot\frac{\partial}{\partial T} \log \prod_{n\ge 1} (1-x_n (-T)^n)=\sum_{n\geq 1} x^{(n)} (-T)^n

als Koeffizienten die Geisterkomponenten von x.

Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren x,y\in W(A) abgebildet auf:

\prod_{d,e\ge 1} (1 - x_d^{m/d} y_e^{m/e} (-T)^m)^{de/m}

wobei jeweils m=\text{kgV}(d,e). Schreibe * für die der Multiplikation in W(A) entsprechende Verknüpfung auf \Lambda(A), so dass (W(A),{+},{\cdot},0,1)\cong(\Lambda(A),{\cdot},{*},1,1+T) ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich[26]

(1+x_1 T)*(1+y_1 T)=1+ x_1 y_1 T

Frobenius und Verschiebung[Bearbeiten]

Zu jeder natürlichen Zahl n\in\N_1 gibt es Operatoren F_n und V_n. Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:

 \begin{align}
& w_m(V_n(x)) = \begin{cases}
n\cdot w_{m/n}(x) & \text{falls }n|m \\
0 & \text{sonst}
\end{cases} \\
& w_m(F_n(x)) = w_{mn}(x)
\end{align}

In \Lambda(A) ist

 \begin{align}
& V_n(f(T))=f((-1)^{n+1} T^n) \\
& F_n(f)((-1)^{n+1} T^n)=\prod_{k=1}^n f(\zeta^kT)=N_{A[[T]]/A[[T^n]]}(f(T))
\end{align}

Dabei ist \zeta eine formale primitive n-te Einheitswurzel und N die Norm.[27] Insbesondere gilt

F_n(1+aT)=1+a^n T

Für n\in\Z sei [n] die Multiplikation mit n auf W(A), also

 \begin{align}
& w_m([n](x)) = n\cdot w_m(x) \\{}
& [n](f(T)) = f(T)^n
\end{align}

Ist A eine R-Algebra (insbesondere R=\Z), dann gibt es für jedes r\in R einen Operator \langle r\rangle: W(A)\to W(A):

 \begin{align}
& w_m(\langle r\rangle(x)) = r^m\cdot w_m(x) \\
& \langle r\rangle(f(T)) = f(rT)
\end{align}

Es gilt für m,n\in\N_1, r,q\in R:

\begin{align}
V_m V_n &= V_{mn} \\
F_m F_n &= F_{mn} \\
V_m F_n &= F_n V_m \text{ falls ggT}(m,n)=1 \\
F_n V_n &= [n] \\
\langle r\rangle\langle s\rangle &= \langle rs\rangle \\
\langle r\rangle V_n &= V_n \langle r^n\rangle \\
F_n \langle r\rangle &= \langle r^n\rangle F_n \\
\langle r\rangle + \langle q\rangle &= \sum_{n=1}^\infty V_n \langle s_n(r,q)\rangle F_n
\end{align}

In der letzten Formel steht s_n(r,q) für die n-te Komponente von \tau(r)+\tau(q)\in W(R).

Beziehung zu den p-typischen Wittvektoren, Artin-Hasse-Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Sei p eine Primzahl. Die Abbildung W(A)\to W_p(A), (x_n)_{n\in\N_1}\mapsto(x_{p^n})_{n\in\N_0}, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die p-typischen Wittpolynome w_{p,n} sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen w_{p^n}, dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.

Die Teilmenge \{x\in W(A): x_k\ne0\Rightarrow k=p^n\} ist kein Unterring von W(A). In bestimmten Fällen kann man jedoch W_p(A) in W(A) einbetten.

Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion

E_0(X)=\exp\left(\sum_{m=0}^\infty \frac{X^{p^m}}{p^m} \right) = \prod_{p\nmid m} (1-X^m)^{-\mu(m)/m}

kann als Element von \Z_{(p)}[[X]] aufgefasst werden (d.h. die Koeffizienten haben nicht durch p teilbare Nenner, siehe Lokalisierung; \mu ist die Möbius-Funktion).

Ist A eine \Z_{(p)}-Algebra, d.h. sind alle Primzahlen \ne p in A invertierbar, dann ist für einen Wittvektor x\in W_p(A) das Element

E(x)=\prod_{n=0}^\infty E_0(x_n T^{p^n})=\exp\left(\sum_n w_{p,n}(x) \frac{T^{p^n}}{p^n}\right)\in\Lambda(A)

wohldefiniert. e=E(1)=E_0(T) ist ein Idempotent in \Lambda(A), und E: W_p(A)\to\Lambda(A)\cong W(A) induziert einen Ringisomorphismus W_p(A)\to e*\Lambda(A). Bezeichne die e*\Lambda(A) entsprechende Untergruppe von W(A) mit W_{(p)}(A). Dann gilt:

W_{(p)}(A)=\{x\in W(A): p\nmid n\implies F_n x=0\}

Der Ring W(A) zerfällt als direktes Produkt der \tfrac{1}{m}V_m W_{(p)}(A) für p\nmid m.[28] Für beliebige Ringe A ist W(A)\cong W^p(W_p(A)), wenn W^p(R) den Quotienten von W(A) bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch p teilbarem Index erhält.[29]

Frobenius F_p und Verschiebung V_p schränken sich zu Operatoren auf W_{(p)} ein und stimmen dort mit den auf W_p erklärten Operatoren F bzw. V überein.

Für einen Körper k der Charakteristik p ist \Lambda(k) die Einseinheitengruppe von k((T)), und so erhält man den Isomorphismus

k((T))^*\cong k^*\times\Z\times W_p(k)^{I(p)} mit I(p)=\{n\in\N: p\nmid n\}

Für jede k-Algebra A ist

W_{[n]}(A)\cong\Lambda_{[n]}(A)=\{1+a_1 T+\dots+a_n T^n\in (A[T]/T^{n+1}A[T])^*\}

Das Abschneiden bei n reduziert den Faktor \tfrac{1}{m}V_m W_{(p)}(A) auf \tfrac{1}{m}V_m W_{p,r_m}(A), wobei r_m die kleinste ganze Zahl mit m\cdot p^{r_m}\geq n+1 ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über k)[30]

\Lambda_{[n]}\cong\prod_{m\leq n,\ p\nmid m} W_{p,r_m}

Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur \mu: W_p\to W_p\circ W_p zusammen: Für einen perfekten Körper k der Charakteristik p ist die Verkettung von

W_p(k)\to \Lambda(W_p(k)),\ \ x\mapsto\prod_{i=0}^\infty E_0(\tau(x_i^{p^{-i}})\cdot T)^{p^i}

mit der Projektion \Lambda(W_p(k))\cong W(W_p(k))\to W_p(W_p(k)) gleich \mu.[31]

λ-Ringe[Bearbeiten]

Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus \mu_A: W(A)\to W(W(A)), der w_n\circ\mu=F_n erfüllt. Wenn A als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist \mu durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist \mu dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion f: A'\to A mit einem torsionsfreien Ring A' die Gleichung \mu_A\circ W(f)=W(W(f))\circ\mu_{A'} gilt. Zusammen mit w_1: W(A)\to A wird W zu einer Komonade.[32] Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf \Lambda(A), erhält man die so genannten λ-Ringe.

Die erste Geisterkomponente w_1: W(A)\to A entspricht in \Lambda(A) dem ersten Koeffizienten:

w_1: \Lambda(A)\to A,\ 1+a_1 T+a_2 T^2+\dots\mapsto a_1

Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring A zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus \lambda: A\to\Lambda(A) mit w_1\circ\lambda=\text{id}_A. Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von \lambda(a) mit \lambda^n(a), also

\lambda(a)=\sum_{n=0}^\infty \lambda^n(a) T^n

dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen \lambda^n: A\to A für n\in\N_0, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

\begin{align}
& \lambda^0(a) = 1 \\
& \lambda^1(a) = a \\
& \lambda^n(a+b) = \sum_{k=0}^n \lambda^k(a) \lambda^{n-k}(b)
\end{align}

Ein λ-Homomorphismus (A,\lambda_A)\to(B,\lambda_B) ist ein Ringhomomorphismus f: A\to B mit \Lambda(f)\circ\lambda_A=\lambda_B\circ f, d.h. das folgende Diagramm kommutiert:

\begin{matrix}
A & \rightarrow & B \\
\downarrow && \downarrow \\
\Lambda(A) & \rightarrow & \Lambda(B)
\end{matrix}

Der Ring \Lambda(A) besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring A eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den \lambda: A\to\Lambda(A) ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für B=\Lambda(A) gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die \lambda^n sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:

\begin{align}
& \lambda^n(1) = 0\text{ falls }n>1 \\
& \lambda^n(ab) = P_n(\lambda^1(a),\dots,\lambda^n(a),\lambda^1(b),\dots,\lambda^n(b)) \\
& \lambda^m(\lambda^n(a)) = Q_{n,m}(\lambda^1(a),\dots,\lambda^{mn}(a))
\end{align}

Die (universellen) Polynome P_n beschreiben die *-Multiplikation auf \Lambda(A) und besitzen wie die Polynome Q_{n,m} eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.

Die Koassoziativität der Komonade \Lambda besagt, dass \Lambda(A) selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor \Lambda ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.

Ist (A,\lambda) ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus

A \stackrel{\lambda}{\longrightarrow} \Lambda(A)\cong W(A) \stackrel{w_n}{\longrightarrow} A

die n-te Adams-Operation \psi_n auf A. Es gilt \psi_n\circ\psi_m=\psi_{mn}. Für eine Primzahl p ist w_p=X_1^p+pX_p, also \psi_p(a)\equiv a^p\mod pA, d.h. \psi_p ist ein Frobeniuslift. Ist A ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation \psi_n auf dem λ-Ring \Lambda(A) der Frobenius F_n.[33]

Cartier-Theorie[Bearbeiten]

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring k und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring \text{Cart}(k).[34]

Sei \text{Nil}(k) die Kategorie der kommutativen k-Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren \text{Nil}(k)\to\text{Ab} identifiziert. Ist F\in k[[X,Y]] ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra A die Menge A mit der Gruppenstruktur (a,b)\mapsto F(a,b) zu. Die formale Gruppe A\mapsto(A,{+}) ist die formale affine Gerade \widehat{\mathbb{A}}^1. Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in \text{Nil}(k) sind.

Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor \widehat{W}, der einer Algebra A die Untergruppe der Wittvektoren in W(A) zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe \widehat{\Lambda}(A)\subseteq\Lambda(A) besteht aus den Elementen, die bezüglich T ein Polynom sind. Der Ring \text{End}(\widehat{W})^\text{op} wird mit \text{Cart}(k) bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren F_n,V_n,\langle r\rangle schränken sich zu Endomorphismen von \widehat{W} ein und definieren damit Elemente V_n,F_n,\langle r\rangle\in\text{Cart}(k). Dabei werden die Bezeichnungen von F_n und V_n vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung W(k)\to\text{Cart}(k), \textstyle a\mapsto\sum_{n\ge 1} V_n\langle a_n\rangle F_n ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Sei G eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:

  • G(X\ k[[X]])=\varprojlim_n G(X\ k[X]/X^n\ k[X])
  • die Gruppe der Morphismen \widehat{\mathbb{A}}^1\to G (nicht Gruppenhomomorphismen, d.h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf G induziert.
  • die Gruppe der Homomorphismen \widehat{W}\to G

Ihre Elemente werden Kurven in G genannt, die Gruppe mit C(G) bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische \text{Cart}(k)-Linksmodulstruktur auf C(G).

Die Potenzreihengruppe \Lambda(k) kann mit C(\widehat{\mathbb{G}}_m) identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus C(\widehat{\mathbb{G}}_m)\to C(\widehat{\mathbb{G}}_a), der von der logarithmischen Ableitung auf X\ k[[X]] induziert wird.

In C(G)=G(X\ k[[X]]) wird die Operation von V_n\in\text{Cart}(k) von X\mapsto X^n induziert, die Operation von \langle r\rangle von X\mapsto rX. Für F_n betrachte wieder eine formale n-te Einheitswurzel \zeta und bilde in G die Summe der Kurven, die man durch X\mapsto \zeta^i X^{1/n} für i=0,1,\dots,n-1 erhält. Für G=\widehat{\mathbb{G}}_m ist eine Kurve durch das Bild f\in X\ k[[X]] der Koordinate bestimmt. Identifiziert man 1+f mit dem entsprechenden Element in \Lambda(k), stimmen die Wirkungen von F_n,V_n,\langle r\rangle mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von F_n und V_n).

Sowohl \text{Cart}(k) als auch C(G) tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass C eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über k und einer Kategorie topologischer \text{Cart}(k)-Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem \text{Cart}(k)-Modul M ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt \widehat{W}\otimes_{\text{Cart}(k)} M zu.

Sei p eine Primzahl und k eine \Z_{(p)}-Algebra, d.h. jede Primzahl \ne p ist in k invertierbar. Dann ist \textstyle \epsilon_p=\sum_{p\nmid n} \frac{\mu(n)}{n} V_n F_n ein Idempotent in \text{Cart}(k), setze \text{Cart}_p(k)=\epsilon_p \text{Cart}(k) \epsilon_p. Für einen \text{Cart}(k)-Modul M ist \epsilon_p M\subseteq M die Untergruppe der Elemente m\in M mit F_n m=0 für alle p\nmid n. Solche Elemente heißen p-typisch.

Für eine formale Gruppe G sei C_p(G)=\epsilon_p C(G)\cong\text{Hom}(\widehat{W}_p,G) die Gruppe der p-typischen Kurven (dabei \widehat{W}_p die formale Gruppe zu den p-typischen Wittvektoren W_p, analog zu \widehat{W}). Dann induziert C_p eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über k wie oben und einer Kategorie topologischer \text{Cart}_p(k)-Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt \widehat{W}_p\otimes_{\text{Cart}_p(k)}M.

Für einen perfekten Körper k der Charakteristik p kann der Dieudonné-Ring D_k mit einem dichten Unterring in \text{Cart}_p(k) identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der p-typischen Kurven, \text{Hom}_{W_p(k)}(M(G),W_p(k))\cong C_p(G).

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Lehrbücher und Übersichtsartikel[Bearbeiten]

Weiterführende Themen[Bearbeiten]

  •  Pierre Berthelot: Exposé V. Généralités sur les λ-anneaux. In: Pierre Berthelot, Alexandre Grothendieck, Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (= Lecture notes in mathematics. 225). Springer, Berlin 1971, ISBN 978-3-540-05647-8, S. 297-364.
  •  James Borger: The basic geometry of Witt vectors, I: The affine case. In: Algebra and Number Theory. 5, Nr. 2, 2011, S. 231-285, arXiv:0801.1691, doi:10.2140/ant.2011.5.231 (online).
  •  James Borger, Ben Wieland: Plethystic Algebra. In: Advances in Mathematics. 194, Nr. 2, 2005, S. 246-283, arXiv:math.AC/0407227 (online).
  •  Michel Demazure: Lectures on p-Divisible Groups (= Lecture notes in mathematics. 302). Springer-Verlag, Berlin 1972, ISBN 3-540-06092-8.
  •  Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 9780720420340.
  •  Michiel Hazewinkel: Formal Groups and Applications. Academic Press, New York 1978, ISBN 0-12-335150-2.
  •  Luc Illusie: Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4. 12, Nr. 4, 1979, S. 501-661 (online).
  •  Jean-Pierre Serre: Algebraic Groups and Class Fields. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96648-X.

Weblinks[Bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Originalarbeit:  Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math.. 176, 1936, S. 126-140.
  2. James Borger hat Argumente dafür vorgebracht, die Nummerierung W_{p,n}(A)=A^{n+1} für n=0,1,2,\dots zu bevorzugen, siehe Borger 2011, 2.5
  3. Hazewinkel 2009, Theorem 5.2. Bourbaki verwendet stattdessen eine Charakterisierung des Bilds von w: W_p(A)\to A^{\N_0} und erhält die universellen Polynome durch Spezialisierung auf Polynomringe A.
  4. Demazure-Gabriel, V §4, 2.1
  5. Bourbaki, IX §1 Proposition 3. Hazewinkel 2009, 5.30
  6. Illusie 1979, S. 508. Bourbaki, IX §1 Ex. 14, 15
  7.  Alexandru Buium: Arithmetic Differential Equations. AMS, Providence 2005, ISBN 0-8218-3862-8.
  8.  André Joyal: δ-anneaux et vecteurs de Witt. In: C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can.. 7, 1985, S. 177–182.
  9. Borger-Wieland 2005
  10. Bourbaki, IX §1 Ex. 9
  11.  Pierre Deligne, Luc Illusie: Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham. In: Inv. Math.. 89, 1987, S. 247-270.
  12. Illusie 1979, Kap. II. Als Vorläufer dieser Konstruktion kann die folgende Arbeit von Spencer Bloch angesehen werden, in der er einen Komplex von Kurven im Sinn der Cartier-Theorie in der K-Theorie betrachtet:  Spencer Bloch: Algebraic K-Theory and Crystalline Cohomology. In: Publ. math. de l’I.H.É.S.. 47, 1977, S. 187-268. Eine systematische Betrachtung von Verdickungen des Typs W_n(X) sowie einer adjungierten Konstruktion findet sich in:  James Borger: The basic geometry of Witt vectors. II: Spaces. In: Mathematische Annalen. 351, Nr. 4, 2011, S. 877-933, arXiv:1006.0092, doi:10.1007/s00208-010-0608-1.
  13.  J. H. Silverman, Nigel Smart, F. Vercauteren: An algebraic approach to NTRU via Witt vectors and overdetermined systems of nonlinear equations. In: Carlo Blundo, Stelvio Cimato (Hrsg.): Security in Communication Networks: 4th International Conference, SCN 2004, Amalfi, Italy, September 8–10, 2004, Lecture Notes in Computer Science 3352. Springer-Verlag, 2005, S. 278–293.
  14. Demazure-Gabriel, V §3 6.11. Serre 1988, VII §2 10
  15. Demazure-Gabriel, V §1 4
  16. Demazure 1972, III §6-8
  17. Corollary 5.11 in:  Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4. 2, Nr. 1, 1969, S. 63-135 (online).
  18.  Luc Illusie: Crystalline Cohomology. In: Uwe Jannsen et al. (Hrsg.): Motives (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 55, Nr. 1). American Mathematical Society, Providence 1994, S. 43-70.
  19.  Jean-Marc Fontaine: Groupes p-divisibles sur les corps locaux. In: Astérisque. 47-48, 1977.  Pierre Berthelot: Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4. 13, Nr. 2, 1980, S. 225-268 (online).
  20. Bourbaki, IX §1 Ex. 23
  21. Bourbaki, IX §1 Ex. 24
  22. Bourbaki, IX §1 Ex. 25
  23. Hazewinkel 1978, 25.3 und 25.6.4. Weitere Verallgemeinerungen dort und in Borger 2011.
  24. Hazewinkel 2009 Kap. 10. Borger-Wieland 2005
  25. Die Vorzeichenwahl ist uneinheitlich, drei Varianten finden sich bei Bourbaki, Hazewinkel und Bergman. Mit der hier getroffenen Wahl (wie bei Bourbaki oder Berthelot 1971) wird der Zusammenhang mit λ-Ringen einfacher.
  26. Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, (9.15) und (9.27)
  27. Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, Kap. 13
  28. Bourbaki, IX §1 Ex. 40. Demazure-Gabriel, V §5, 3.4
  29.  Roland Auer: A functorial property of nested Witt vectors. In: Journal of Algebra. 252, Nr. 2, 2002, S. 293-299.
  30. Serre 1988, V §3 Proposition 9
  31. Hazewinkel 1978 17.5
  32. Bourbaki, IX §1 Ex. 41. Hazewinkel 2009 16.59
  33. Bourbaki, IX §1 Ex. 48. Hazewinkel 2009, 16.22
  34. Übersichtsartikel zum gesamten Abschnitt:  Lawrence Breen: Rapport sur la Théorie de Dieudonné. In: Astérisque. 63, 1979, S. 39-66. Siehe auch:  Thomas Zink: Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen. Teubner, 1984, ISBN 3322006476.  Michel Lazard: Commutative Formal Groups. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-07145-8.  Ching-Li Chai: Notes on Cartier Theory. (PDF).
  35.  Colette Schoeller: Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non parfait. In: Bulletin de la S. M. F.. 100, 1972, S. 241-300 (online).; Bourbaki, IX §2 Ex. 10
  36.  Andreas Dress, Christian Siebeneicher: The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. In: Adv. Math.. 70, 1988, S. 87-132.