Wohldefiniertheit

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Man kann in der Mathematik ein Objekt nicht nur durch eine Definitionsgleichung (explizit), sondern auch durch eine charakteristische Eigenschaft (implizit) definieren. Während eine explizite Definition immer zulässig ist, ist eine implizite Definition nur unter der Bedingung zulässig, dass es tatsächlich genau ein Objekt mit der angegebenen Eigenschaft gibt. Diese Bedingung nennt man die Wohldefiniertheit der impliziten Definition.

Den Beweis der Wohldefiniertheit kann man in zwei Teile zerlegen: die Existenz und die Eindeutigkeit des zu definierenden Begriffs.

Implizite Definitionen tauchen oft unbemerkt auf, wenn man Abbildungen auf Faktormengen definiert. Das Ergebnis wird durch eine Abbildung auf einem Repräsentanten definiert. Wohldefiniertheit läuft hier auf die Unabhängigkeit des Ergebnisses von der Wahl des Repräsentanten hinaus.

Einfaches Beispiel[Bearbeiten]

  1. „Für alle x\in\mathbb{R}_{\ge 0} ist f_1(x) definiert als diejenige Zahl y\in\mathbb{R}_{\ge 0}, für die gilt x = y^2.“
  2. „Für alle x\in\mathbb{R}_{\ge 0} ist f_2(x) definiert als diejenige Zahl y\in\mathbb{R}, für die gilt x = y^2.“
  3. „Für alle x\in\mathbb{R} ist f_3(x) definiert als diejenige Zahl y\in\mathbb{R}_{\ge 0}, für die gilt x = y^2.“

Dabei soll es sich um die Definition von Funktionen f_1,f_2,f_3 handeln mit angegebener Definitions- und Wertemenge.

Zu 1: Die Wohldefiniertheit von f_1(x) besagt, dass es für jede Zahl x\in\mathbb{R}_{\ge 0} genau eine Zahl y\in\mathbb{R}_{\ge 0} mit der Eigenschaft x = y^2 gibt. Das ist in der Tat der Fall, denn die Quadratfunktion von \mathbb{R}_{\ge 0} nach \mathbb{R}_{\ge 0} ist bijektiv. Die Funktion f_1 ist also wohldefiniert. f_1 ist die Quadratwurzelfunktion.

Zu 2: Wohldefiniertheit gilt hier nicht, denn zum Beispiel gilt 4 = 2^2 und 4 = (-2)^2. Die Eindeutigkeit ist verletzt.

Zu 3: Auch hier gilt Wohldefiniertheit nicht, denn -1 = y^2 hat keine reellen Lösungen y. Die Existenz ist verletzt.

Repräsentantenunabhängigkeit[Bearbeiten]

In der Literatur findet sich häufig die Definition von Wohldefiniertheit als Repräsentantenunabhängigkeit.[1] Vereinzelt wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es keine darüber hinausgehende Bedeutung gibt.[2]

Die Repräsentantenunabhängigkeit soll zunächst an einem Beispiel erläutert werden. Jede rationale Zahl lässt sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen, dem Zähler und dem Nenner, schreiben. „Definieren“ wir also  f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} : a/b \mapsto a als Funktion, die jeder rationalen Zahl ihren Zähler zuordnet.

Es gilt bekanntlich 1/2 = 2/4, also gilt 1 = f(1/2) = f(2/4) = 2, ein Widerspruch! Die Definition von f kann also nicht in Ordnung sein. Die Definition von f ist tatsächlich eine implizite Definition und sie ist nicht wohldefiniert. Sehen wir uns dazu die Definition von f genauer an: Der Bruch a/b steht für die Äquivalenzklasse aller Paare (x,y), für die gilt ay=xb. Die Definition von f müsste also genauer lauten: Für alle rationalen Zahlen q ist f(q) definiert als derjenige Wert x für den es ein y gibt mit x/y = q. Nun stellt sich heraus, dass es mehrere solcher x gibt – für q=1/2 sind dies zum Beispiel 1 (mit y=2) oder 2 (mit y=4). Die Wohldefiniertheit gilt also nicht.

Hat ein Element a \in A also mehrere Darstellungen (im Beispiel: 1/2, 2/4, 3/6, …), dann muss eine Funktion  f : A \to B diesem Element einen Wert f(a) zuordnen, der von der Darstellung von a unabhängig ist. Die Definition f : \mathbb{Q} \setminus \{0\} \to \mathbb{Q} \setminus \{0\} : a/b \mapsto b/a zum Beispiel erfüllt diese Bedingung.

Für zwei mathematische Konzepte muss die Repräsentantenunabhängigkeit nachgewiesen werden:

Induzierte Abbildungen[Bearbeiten]

Definition der induzierten Abbildung[Bearbeiten]

Gegeben seien zwei Mengen A_1 und A_2 sowie Äquivalenzrelationen \sim_1 auf A_1 und \sim_2 auf A_2. Mit  [a_1]_1 sei die Äquivalenzklasse \{a \mid a \sim_1 a_1\} des Elements  a_1 \in A_1 bezüglich \sim_1 bezeichnet und entsprechend mit  [a_2]_2 die Äquivalenzklasse des Elements  a_2 \in A_2 bezüglich \sim_2. Die Menge der Äquivalenzklassen {A_1}_{/\sim_1} := \{[a_1]_1 \mid a_1 \in A_1\} heißt Faktormenge von A_1 (nach der Äquivalenzrelation \sim_1).

Hat man nun eine Funktion (oder Abbildung) f : A_1 \to A_2 gegeben, so lässt sich stets eine (zweistellige) Relation \tilde{f} auf dem Paar

{\color{OliveGreen}{A_1}_{/\sim_1}} \times {\color{red}{A_2}_{/\sim_2}}
der Faktormengen gemäß der Vorschrift
\tilde{f} := \{\;(
  {\color{OliveGreen}[a_1]_1} , {\color{red}[f(a_1)]_2}   ) \, \mid \, a_1 \in A_1\}

definieren. Diese Definition ist als Definition einer Relation gültig und vollwertig. Ihr Zweck ist aber (meist) die Definition einer Abbildung. So wird \tilde{f} auch schon die von f induzierte Abbildung genannt, obwohl die Verwendung des Begriffs Abbildung genaugenommen einen Vorgriff auf die noch unbewiesene Wohldefiniertheit darstellt.

Wohldefiniertheit einer induzierten Abbildung[Bearbeiten]

Zunächst ist \tilde{f} nämlich nur eine zweistellige Relation \sube {A_1}_{/\sim_1} \times {A_2}_{/\sim_2}, die genau dann die (restlichen) Forderungen an die (ebenfalls zweistellige Relation der) Funktion oder Abbildung erfüllt, wenn es zu jedem Argumentwert [a_1]_1 nur einen (einzigen) Funktionswert \tilde{f}([a_1]_1) gibt. Hierfür muss gelten:

\forall x, y \in A_1 \quad ([x]_1 = [y]_1 \Longrightarrow [f(x)]_2 = [f(y)]_2).

Genau dann, wenn diese (Repräsentantenunabhängigkeit genannte) Forderung erfüllt ist, wird die induzierte „Abbildung“ \tilde{f} wohldefiniert genannt und ist nicht nur eine Relation, sondern wirklich eine Abbildung.

Beispiele für induzierte Abbildungen[Bearbeiten]

  • Sei A_1 = \Z und A_2 = \{0, 1\}. Als Äquivalenzrelation \sim_1 wählen wir die „Äquivalenz modulo 3“, d. h., es gelte
x\sim_1 y,\quad\mathrm{falls}\quad \frac{x-y}{3}\in\Z\ .
Die Äquivalenzrelation \sim_2 sei die gewöhnliche Gleichheit, also x\sim_2 y\;, falls x = y. Als Funktion wählen wir
f : \Z \to \{0, 1\},\ x \mapsto \left\{\begin{matrix}
 0\ , & \mbox{falls}\ x\ \mbox{gerade}\ , \\
 1\ , & \mbox{falls}\ x\ \mbox{ungerade}\ .
\end{matrix}\right.
Die induzierte „Abbildung“ ist dann
 \tilde{f} : \Z_{/\sim_1} \to \{0, 1\}_{/\sim_2}, \ [x]_1 \mapsto [f(x)]_2 = \left\{\begin{matrix}
 \{0\}\ , & \mbox{falls}\ x\ \mbox{gerade}\ , \\
 \{1\}\ , & \mbox{falls}\ x\ \mbox{ungerade}\ .
\end{matrix}\right.
Es gilt nun \tilde{f}([5]_1) = [1]_2 = \{1\} \neq \{0\} = [0]_2 = \tilde{f}([8]_1), obwohl [5]_1 = [8]_1. In diesem Fall ist also die induzierte Abbildung \tilde{f} nicht wohldefiniert und keine Abbildung.
  • Sei A_1 = A_2 = \R. Die Äquivalenzrelation \sim_1 sei erklärt durch
x\sim_1 y,\quad\mathrm{falls}\quad \frac{x-y}{2\pi}\in\Z\ ,
und \sim_2 sei wieder die gewöhnliche Gleichheit. Der reelle Kosinus induziert nun die Abbildung
\tilde{f}: \R_{/\sim_1} \to \R_{/\sim_2}, [x]_1 \mapsto [\cos(x)]_2.
Diese Abbildung ist wohldefiniert, wie man folgendermaßen zeigt: Seien x, y \in \R mit der Eigenschaft [x]_1 = [y]_1. Gemäß der Definition von \sim_1 existiert nun ein k \in \Z mit x = y + k \cdot 2\pi, und deshalb folgt \tilde{f}([x]_1) = \cos(x) = \cos(y + k \cdot 2\pi) = \cos(y) = \tilde{f}([y]_1), wobei wir die Tatsache verwendet haben, dass der Kosinus eine Periode von 2\pi besitzt.

Induzierte Verknüpfung[Bearbeiten]

Definition der induzierten Verknüpfung[Bearbeiten]

Sei A eine nichtleere Menge mit einer Äquivalenzrelation \sim und einer inneren Verknüpfung * \colon A\times A \to A . Mithilfe * kann man auf der zugehörigen Faktorstruktur die dreistellige Relation


  \begin{array}{rcccccl}
   & A_{/\sim} & \times & A_{/\sim} & \times & A_{/\sim} \\
   \tilde{*} := \{( & [a] & , & [b] & , & [a * b] & ) \mid a,b \in A \}
  \end{array}

definieren. Im Vorgriff auf die noch zu beweisende Wohldefiniertheit wird \tilde{*} die durch * auf der Faktorstruktur induzierte Verknüpfung genannt.

Wohldefiniertheit für induzierte Verknüpfungen[Bearbeiten]

Damit diese Relation wirklich eine Verknüpfung ist, darf das Ergebnis nicht von der Wahl des Repräsentanten in einer Klasse abhängen. Das heißt, es muss für alle  a_1, a_2, b_1, b_2 \in A mit der Eigenschaft a_1 \sim a_2,\;b_1 \sim b_2 gelten:

a_1*b_1 \sim a_2*b_2\ .

Ist dies der Fall, ist die induzierte Verknüpfung \tilde{*} eine (wirkliche) Verknüpfung (der man die Eigenschaft der Wohldefiniertheit zuspricht).

Beispiele für induzierte Verknüpfungen[Bearbeiten]

  • Die Verknüpfung p: \Z/3\Z \times \Z/3\Z \to \Z/3\Z, gegeben durch p([a],[b]) := [ {|a|} ^ {|b|} ], ist nicht wohldefiniert: Es gilt [5] = [2] und [3] = [6], aber
p([5],[3]) = [5^3] = [125] = [3\cdot 41+2] = [2] \neq [1] = [3\cdot 21+1] = [64] = [2^6] = p([2],[6])\ .
  • Betrachte die symmetrische Gruppe S_3 = \{id, (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)\} und darin die Untergruppe U := \{id, (1,2)\}. Die auf der Faktormenge S_3 / U induzierte Verknüpfung ist nicht wohldefiniert. Es ist [id] = [(1,2)] und selbstverständlich [(1,3,2)]=[(1,3,2)], aber
[(1,2)*(1,3,2)] = [(1,3)] \neq [(1,3,2)] = [id*(1,3,2)].
  • Die Addition und die Multiplikation in einem Restklassenring  \Z / n\Z (n \in \mathbb{N}) sind wohldefiniert. Die Restklassen-Addition ist gerade die von der Addition in \Z und dem Normalteiler n\Z induzierte Verknüpfung.
  • Ist  N ein Normalteiler der Gruppe  G , dann ist die auf  G/N induzierte Verknüpfung wohldefiniert, und  G/N heißt Faktorgruppe von  G nach  N . Die Eigenschaft, Normalteiler zu sein, ist sogar äquivalent dazu, dass die induzierte Verknüpfung auf der Faktormenge  G/N wohldefiniert ist. Denn seien  g_1, g_2 \in G und  n_1, n_2 \in N beliebig. Für die Wohldefiniertheit der induzierten Gruppenverknüpfung auf den Linksnebenklassen muss gelten:
 [g_1*n_1] \; \tilde{*} \; [g_2*n_2] = [g_1*g_2]\ ,
also  g_2*n_2*g_2^{-1} \in N . Dies entspricht aber der Definition 2 des Normalteilers. Dasselbe Ergebnis erhält man bei den Rechtsnebenklassen.

Notationelle Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

Für reelle Zahlen ist die Schreibweise  a b c für das Produkt  (a b) c = a (b c) wohldefiniert, da die Multiplikation das Assoziativgesetz erfüllt, somit jedwede Klammersetzung – also die Reihenfolge der Multiplikationen zweier Nachbarn – zum selben Ergebnis führt, die Klammern also weggelassen werden können. Dies gilt auch für die in der Multiplikation nicht kommutativen Quaternionen.

Für reelle Zahlen  x und  y \neq 0 ist die Schreibweise  \frac x y für den Quotienten  x y^{-1} = y^{-1} x wohldefiniert. Dies gilt nicht für in der Multiplikation nicht kommutative Quaternionen.

Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit[Bearbeiten]

In einem weiteren Sinn wird Wohldefiniertheit auch auf andere Bereiche ausgedehnt. Sie bezeichnet dann eine sinnvolle und widerspruchsfreie Definition. Synonym für „nicht wohldefiniert“ in diesem Sinn werden auch „nicht definiert“ oder „nicht vollständig definiert“ gebraucht.

Definitionsbereich einer Funktion[Bearbeiten]

Im Definitionsbereich der Abbildung  f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto\frac{1}{x} darf die Null nicht im Definitionsbereich enthalten sein, da sie für  x=0 den Wert  f(0)=\frac{1}{0} liefert. Durch Null zu teilen ist in den reellen Zahlen allerdings nicht erklärt, d. h. es gibt keine reelle Zahl „1/0“. (In einem erweiterten Sinne könnte man zwar 1/0 := \infty setzen. Das tut dem Beispiel aber nichts, da \infty keine reelle Zahl ist! Zudem müsste man \infty und -\infty miteinander identifizieren, da f(x) für x\nearrow 0 gegen -\infty divergiert.)

Ebenso ist es in den reellen Zahlen nicht erklärt, die Quadratwurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Anders gesagt ist die „Funktion“  f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x} nicht wohldefiniert, die Funktion  f : \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x} hingegen schon.

Wertebereich einer Funktion[Bearbeiten]

Schreibt man die Formel  f(x) = 2x als „Funktion“  f : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, x \mapsto 2 \cdot x, so wird dem Wert x=-2 zwar der Wert f(-2)=-4 zugeordnet. Das ist in diesem Fall aber nicht zulässig, da -4 keine natürliche Zahl ist und somit nicht im Wertebereich liegt.

Verknüpfungen bei Gruppen[Bearbeiten]

Innere Verknüpfungen einer algebraischen Struktur  G (z. B. einer Gruppe) sind ebenfalls Funktionen (meist mit zwei Argumenten). Für sie gelten also dieselben Bedingungen: Die Verknüpfung von Elementen der Struktur  G muss ein eindeutig bestimmtes Element von  G ergeben. Hier wird oft fälschlicherweise der Ausdruck Abgeschlossenheit benutzt, welcher sich aber auf die Definition von Unterstrukturen bezieht.

Wohldefiniertheit von Mengen[Bearbeiten]

Eine Menge ist wohldefiniert, wenn das Definiens für jedes beliebige Objekt eindeutig festlegt, dass es entweder Element der Menge ist oder nicht Element der Menge ist. Insbesondere werden so gewisse Formen imprädikativer Definitionen ausgeschlossen.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Serge Lang: Algebra. 3. Auflage. 1993, S. X (Prerequisites).
  2. Albrecht Beutelspacher: Das ist o.B.d.A trivial! Braunschweig 1997, S. 9.

Weblinks[Bearbeiten]