Wronski-Determinante

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Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.

Definition[Bearbeiten]

Für n reell- oder komplexwertige Funktionen f_1,\dots,f_n auf einem Intervall I ist die Wronski-Determinante definiert durch

W(f_1, \dots , f_n )(t)
= \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t) & \dots & f_n(t) \\
 f^{(1)}_1(t) & f^{(1)}_2(t) & \dots & f^{(1)}_n(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
 f^{(n-1)}_1(t) & f^{(n-1)}_2(t) & \dots & f^{(n-1)}_n(t)
\end{vmatrix},
\qquad t\in I,

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis (n-1)-te Ableitung bezeichnen.

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden.

Kriterium für lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Kriterium[Bearbeiten]

Gilt W(f_1,\ldots,f_n)(t_0) \neq 0 für ein t_0 \in I, so sind die Funktionen f_1,\ldots,f_n auf dem Intervall I linear unabhängig.

Gegenbeispiel für die Umkehrung[Bearbeiten]

Vorsicht: Aus W(f_1,\ldots,f_n) \equiv 0 folgt nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen f_1,\ldots,f_n, das heißt, die Umkehrung ist falsch. Es gilt jedoch, dass die Funktionen auf einem Teilbereich linear abhängig sind. Als Beispiel hierfür dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

f_1(t)=\begin{cases} 0\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\ t^2\ ,&\mbox{falls }t>0,\end{cases}\qquad\mbox{und}\qquad
f_2(t)=\begin{cases} t^2\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\0\ ,&\mbox{falls }t>0.\end{cases}

Für alle t \in \mathbb{R} gilt

W(f_1, f_2 )(t)
= \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t)\\
 f'_1(t) & f'_2(t)
\end{vmatrix}  = 0.

Aber \lambda\ f_1(t)+\mu\ f_2(t)=0 führt für t=1 zu \lambda=0 und für t=-1 zu \mu=0, was die lineare Unabhängigkeit auf t=1 beziehungsweise für t = -1 der beiden Funktionen impliziert. Für t=0 gilt f_1(0) = 0 und f_2(0) = 0, was lineare Abhängigkeit in t=0 bedeutet.

Literatur[Bearbeiten]

  • Heuser H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995. S. 250.

Weblinks[Bearbeiten]