Wurzelsystem

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Dieser Artikel behandelt den Begriff im mathematischen Sinne. Für die biologische Bedeutung siehe Wurzel (Pflanze)

Wurzelsysteme dienen in der Mathematik als Hilfsmittel zur Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen und der endlichdimensionalen halbeinfachen komplexen Lie-Algebren.

Definitionen[Bearbeiten]

Eine Teilmenge R eines Vektorraums V über einem Körper K der Charakteristik 0 heißt Wurzelsystem, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. R ist endlich.
  2. R ist ein lineares Erzeugendensystem von V.
  3. Zu jedem \alpha aus R gibt es eine Linearform \alpha^\vee\in V^* mit den Eigenschaften:
    • Für \beta\in R ist \alpha^\vee(\beta)\in\mathbb{Z} .
    • \alpha^\vee(\alpha)=2
    • Die lineare Abbildung s_\alpha\colon V\to V mit s_\alpha(x)=x-\alpha^\vee(x)\cdot\alpha bildet R auf R ab.

Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor, falls zusätzlich gilt

4. Sind zwei Wurzeln \alpha,\beta linear abhängig, so gilt \alpha=\pm\beta

Man kann zeigen, dass die Linearform \alpha^\vee aus 3. für jedes \alpha \in R eindeutig ist. Sie wird die Kowurzel zu \alpha genannt; die Bezeichnung ist dadurch gerechtfertigt, dass die Kowurzeln ein Wurzelsystem im Dualraum V^* bilden. Die Abbildung s_\alpha ist eine Spiegelung und natürlich ebenfalls eindeutig bestimmt.

Sind \alpha und \beta zwei Wurzeln mit \alpha^\vee(\beta)=0, so kann man zeigen, dass auch \beta^\vee(\alpha)=0 gilt, und man nennt \alpha und \beta orthogonal zueinander. Kann man das Wurzelsystem derart als Vereinigung R=R_1\cup R_2 zweier nicht-leerer Teilmengen schreiben, dass jede Wurzel in R_1 orthogonal zu jeder Wurzel in R_2 ist, so heißt das Wurzelsystem reduzibel. In diesem Fall lässt sich auch V in eine direkte Summe V_1\oplus V_2 zerlegen, so dass R_1\subseteq V_1 und R_2\subseteq V_2 Wurzelsysteme sind. Ist hingegen ein nicht-leeres Wurzelsystem nicht reduzibel, so heißt es irreduzibel.

Die Dimension des Vektorraums V heißt Rang des Wurzelsystems. Eine Teilmenge \Pi eines Wurzelsystems R heißt Basis, falls \Pi eine Basis von V ist und jedes Element von R als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von \Pi mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Koeffizienten dargestellt werden kann.

Zwei Wurzelsysteme R\subset V und R'\subset V' sind genau dann zueinander isomorph, wenn es einen Vektorraumisomorphismus \varphi\colon V \to V' mit \varphi(R)=R' gibt.

Skalarprodukt[Bearbeiten]

Man kann auf V ein Skalarprodukt definieren, bezüglich welchem die Abbildungen s_\alpha Spiegelungen sind. Im reduziblen Fall kann man dieses aus Skalarprodukten auf den Komponenten zusammensetzen. Falls jedoch R irreduzibel ist, so ist dieses Skalarprodukt sogar bis auf einen Faktor eindeutig. Man kann dieses noch so normieren, dass die kürzesten Wurzeln die Länge 1 haben.

Man kann also im Prinzip davon ausgehen, dass ein Wurzelsystem in einem K^n (meist \mathbb{R}^n) mit dessen Standardskalarprodukt „lebt“. Die Ganzzahligkeit von \alpha^\vee(\beta) und \beta^\vee(\alpha) bedeutet dann eine erhebliche Einschränkung für die möglichen Winkel zwischen zwei Wurzeln \alpha und \beta. Es ergibt sich nämlich aus

\langle\alpha,\beta\rangle =\sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle\langle\beta,\beta\rangle} \cdot\cos\measuredangle(\alpha,\beta),

dass 4 \cos^2\measuredangle(\alpha,\beta) ganzzahlig sein muss. Dies ist wiederum nur für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180° der Fall. Zwischen zwei verschiedenen Wurzeln einer Basis sind sogar nur die Winkel 90°, 120°, 135°, 150° möglich. All diese Winkel treten tatsächlich auf, vgl. die Beispiele vom Rang 2. Weiter ergibt sich, dass auch für das Längenverhältnis zweier Wurzeln in derselben irreduziblen Komponente nur wenige Werte möglich sind.

Weylgruppe[Bearbeiten]

Die Untergruppe der Automorphismengruppe von V, die von der Menge der Reflexionen \{s_\alpha|\alpha \in R\} erzeugt wird, heißt Weylgruppe (nach Hermann Weyl) und wird im Allgemeinen mit W bezeichnet. Bezüglich des definierten Skalarproduktes sind alle Elemente der Weylgruppe orthogonal, die s_\alpha sind Spiegelungen.

Die Gruppe W operiert treu auf R und ist daher immer endlich. Ferner operiert W transitiv auf der Menge der Basen von R.

Im Fall K=\mathbb{R} zerlegen die Spiegelungsebenen der s_\alpha den Raum jeweils in Halbräume, insgesamt in mehrere offene konvexe Teilmengen, die sogenannten Weylkammern. Auch auf diesen operiert W transitiv.

Positive Wurzeln, Einfache Wurzeln[Bearbeiten]

Nach Wahl einer Weyl-Kammer \mathfrak{a}^+ kann man die Menge der positiven Wurzeln definieren durch

R^+:=\left\{\alpha\in R: \alpha^\vee(x)>0\ \forall x\in\mathfrak{a}^+\right\}.

Dies definiert eine Anordnung auf R durch

\alpha>\beta\Longleftrightarrow \alpha-\beta\in R^+.

Die positiven bzw. negativen Wurzeln sind also diejenigen mit \alpha>0 bzw. \alpha <0. (Man beachte, dass diese Definition von der Wahl der Weyl-Kammer abhängt. Zu jeder Weyl-Kammer erhält man eine Anordnung.)

Eine einfache Wurzel ist eine positive Wurzel, die sich nicht als Summe mehrerer positiver Wurzeln zerlegen lässt.

Die einfachen Wurzeln bilden eine Basis von V. Jede positive (negative) Wurzel lässt sich als Linearkombination einfacher Wurzeln mit nichtnegativen (nichtpositiven) Koeffizienten zerlegen.

Beispiele[Bearbeiten]

Die leere Menge ist das einzige Wurzelsystem vom Rang 0 und ist auch das einzige Wurzelsystem, das weder reduzibel noch irreduzibel ist.

Es gibt bis auf Isomorphie nur ein reduziertes Wurzelsystem vom Rang 1. Es besteht aus zwei von 0 verschiedenen Wurzeln \{\alpha,-\alpha\} und wird mit A_1 bezeichnet. Betrachtet man auch nicht-reduzierte Wurzelsysteme, so ist \{-2\alpha,-\alpha,\alpha,2\alpha\} das einzige weitere Beispiel von Rang 1.

Alle reduzierten Wurzelsysteme vom Rang 2 haben, bis auf Isomorphie, eine der folgenden Formen. (\alpha,\beta) ist jeweils eine Basis des Wurzelsystems.

reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 2
Root system A1×A1 Root system A2
Wurzelsystem A1×A1 Wurzelsystem A2
Root system B2 Root system G2
Wurzelsystem B2 Wurzelsystem G2

Im ersten Beispiel, A_1 \times A_1, ist das Verhältnis der Längen von \alpha und \beta beliebig, in den anderen Fällen dagegen durch die geometrischen Gegebenheiten eindeutig bestimmt.

Klassifikation[Bearbeiten]

Bis auf Isomorphie ist sämtliche Information über ein reduziertes Wurzelsystem R in seiner Cartan-Matrix

C(R)=(\beta^\vee(\alpha))_{\alpha,\beta\in\Pi}

enthalten. Man kann dies auch in Form eines Dynkin-Diagramms darstellen. Dazu setzt man für jedes Element einer Basis einen Punkt und verbindet die Punkte α und β durch Striche, deren Anzahl durch

\beta^\vee(\alpha)\alpha^\vee(\beta)

bestimmt wird. Sind dies mehr als einer, so setzt man zusätzlich zwischen beide Punkte ein Relationszeichen > bzw. <, d.h. einen ‚Pfeil‘ in Richtung der kürzeren Wurzel. Die Zusammenhangskomponenten des Dynkin-Diagramms entsprechen genau den irreduziblen Komponenten des Wurzelsystems. Als Diagramm eines irreduziblen Wurzelsystems können nur auftreten:

Irreduzible Wurzelsysteme.png

Der Index n gibt hierbei jeweils den Rang und damit die Anzahl der Punkte im Diagramm an. Aus den Dynkin-Diagrammen kann man mehrere Identitäten ablesen. So ist z.B. A_1 = B_1 oder A_3 = D_3. Deshalb bildet B erst ab n=2 und D erst ab n=4 eine eigenständige Klasse. Die zu den Serien A_n bis D_n gehörenden Wurzelsysteme werden auch als klassische Wurzelsysteme bezeichnet, die übrigen fünf als exzeptionelle oder Ausnahme-Wurzelsysteme. Alle genannten Wurzelsysteme treten beispielsweise auch auf als Wurzelsystem halbeinfacher komplexer Lie-Algebren.

Nicht reduzierte Wurzelsysteme[Bearbeiten]

Für irreduzible, nicht reduzierte Wurzelsysteme gibt es nur wenige Möglichkeiten, die gedacht werden können als die Vereinigung eines B_n mit einem C_n (mit n\geq 1) bzw. als ein B_n, bei dem für jede kurze Wurzel deren Doppeltes hinzugenommen wurde.

Weitere Anwendungen[Bearbeiten]

Lie-Algebren[Bearbeiten]

Es sei \mathfrak{g} eine endlich-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra und \mathfrak{a}\subset\mathfrak{g} eine Cartan-Unteralgebra. Dann heißt \alpha\in \mathfrak{a} eine Wurzel, wenn

\mathfrak{g}_\alpha:=\left\{Y\in\mathfrak{g}:\left[X,Y\right]=\alpha^\vee(X)Y\ \forall X\in\mathfrak{a}\right\}\not=\left\{0\right\}

ist. Hierbei ist \alpha^\vee\in\mathfrak{a}^* die mittels der Killing-Form B durch

\alpha^\vee(X)=2\frac{B(\alpha,X)}{B(\alpha,\alpha)}\ \forall X\in\mathfrak{a}

definierte lineare Abbildung.

Sei R\subset\mathfrak{a} die Menge der Wurzeln, dann kann man zeigen, dass

(\mathfrak{a},R)

ein Wurzelsystem ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Dieses Wurzelsystem hat folgende Eigenschaften:

  1. \mathfrak{a}(\R):=\left\{a\in\mathfrak{a}:\alpha^\vee(a)\in\R\ \forall \ \alpha\in R\right\} ist eine reelle Form von \mathfrak{a}.
  2. Für \alpha\in R gilt n\alpha\in R genau dann, wenn n=\pm 1.
  3. Für alle \alpha\in R ist dim(\mathfrak{g}_\alpha)=1.
  4. Für alle \alpha,\beta\in R ist \mathfrak{g}_{\alpha+\beta}=\left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta\right], insbesondere \left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_{-\alpha}\right]\subset\mathfrak{\alpha}.
  5. \mathfrak{g}_\alpha, \mathfrak{g}_{-\alpha}, \left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_{-\alpha}\right] spannen eine zur Lie-Algebra sl(2,C) isomorphe Lie-Algebra auf.
  6. Für \alpha\not=\pm\beta ist B(\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta)=0, d.h. die Wurzelräume sind bzgl. der Killing-Form orthogonal. Die Einschränkung der Killing-Form auf \mathfrak{a} und \mathfrak{g}_\alpha\oplus\mathfrak{g}_{-\alpha} ist nicht-entartet. Die Einschränkung der Killing-Form auf \mathfrak{a}(\R) ist reell und positiv definit.

Endlich-dimensionale halbeinfache komplexe Lie-Algebren werden durch ihre Wurzelsysteme, also durch ihre Dynkin-Diagramme, klassifiziert.

Beispiel[Bearbeiten]

Es sei \mathfrak{g}=sl(n,\R). Die Killing-Form ist B(X,Y)=2nTr(XY), eine Cartan-Unteralgebra \mathfrak{a} ist die Algebra der Diagonalmatrizen mit Spur 0, also \mathfrak{a}=\left\{diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n):\lambda_1+\ldots+\lambda_n=0\right\}. Wir bezeichnen mit e_i die Diagonalmatrix mit i-tem Diagonaleintrag \lambda_i=1 und den anderen Diagonaleinträgen gleich 0.

Das Wurzelsystem von \mathfrak{a} ist R=\left\{e_i-e_j:1\le i \not = j\le n\right\}. Die zu \alpha=e_i-e_j duale Form \alpha^\vee\in\mathfrak{a}^* ist

\alpha^\vee(diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n))=\lambda_i-\lambda_j.

Als positive Weyl-Kammer kann man

\mathfrak{a}^+=\left\{diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n):\lambda_1>\ldots>\lambda_n, \lambda_1+\ldots+\lambda_n=0\right\}

wählen. Die positiven Wurzeln sind dann

R^+=\left\{e_i-e_j:1\le i < j\le n\right\}.

Die einfachen Wurzeln sind

\left\{e_i-e_{i+1}:1\le i\le n-1\right\}.

Spiegelungsgruppen[Bearbeiten]

Eine Coxeter-Gruppe ist abstrakt definiert als Gruppe mit Präsentation

\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle

mit m_{ii}=1 und m_{ij}\geq 2 für i\neq j, sowie der Konvention m_{i j}= \infty, falls (r_i r_j) unendliche Ordnung hat, d.h. es keine Relation der Form (r_i r_j)^m gibt.

Coxeter-Gruppen sind eine Abstraktion des Begriffs der Spiegelungsgruppe.

Jeder Coxeter-Gruppe entspricht ein ungerichtetes Dynkin-Diagramm. Die Punkte des Diagramms entsprechen den Erzeugern r_1,r_2,\ldots,r_n. Die r_i und r_j entsprechenden Punkte werden durch m_{ij} Kanten verbunden.

Singularitäten[Bearbeiten]

Nach Wladimir Arnold lassen sich Elementare Katastrophen durch Dynkin-Diagramme vom Typ ADE klassifizieren:

  • A0 - ein nicht-singulärer Punkt, V = x.
  • A1 - ein lokales Extremum, entweder ein stabiles Minimum oder ein instabiles Maximum V = \pm x^2 + a x.
  • A2 - die Faltung, fold
  • A3 - die Spitze, cusp
  • A4 - der Schwalbenschwanz, swallowtail
  • A5 - der Schmetterling, butterfly
  • Ak - eine unendliche Folge von Formen in einer Variablen V=x^{k+1}+\cdots
  • D4- - die elliptische umbilische Katastrophe
  • D4+ - die hyperbolische umbilische Katastrophe
  • D5 - die parabolische umbilische Katastrophe
  • Dk - eine unendliche Folge weiterer umbilischer Katastrophen
  • E6 - die umbilische Katastrophe V = x^3+y^4+a x y^2 +bxy+cx+dy
  • E7
  • E8

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Jean-Pierre Serre: Complex Semisimple Lie Algebras, Springer, Berlin, 2001.